Главная

Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Неопределенный интеграл: интегрирование иррациональных функций.


Неопределенный интеграл: интегрирование иррациональных функций.

Интегрирование простейших иррациональных функций

Рассмотрим некоторые приемы для интегрирования различных типов иррациональных функций.

Наибольшее практическое значение имеют интегралы от функций, рациональных относительно аргумента и квадратного корня из квадратного трехчлена

Основным приемом интегрирования таких функций будет метод замены переменной. Будем искать такие подстановки, которые привели бы подынтегральное выражение к рациональному виду. Назовем этот прием методом рационализации подынтегрального выражения.

Рассмотрим класс интегралов , где R – рациональная функция двух аргументов, a, b, c – действительные числа.

Предполагаем, что квадратный трехчлен не имеет равных корней, так что корень из него не может быть заменен рациональным выражением.

Теорема: Интеграл вида подстановкой или

сводится к интегралу от рациональной функции относительно sin t или cos t.

Пример 1:

Теорема: Интеграл вида подстановкой или сводится к интегралу от рациональной функции относительно sin t и cos t.

Пример 2:

Теорема: Интеграл вида подстановкой или сводится к интегралу от рациональной функции относительно sin t или cos t.

Пример 3:

2 способ. Подстановки Эйлера.(1707-1783)

 

Рассмотрим три подстановки Эйлера, с помощью которых всегда можно достигнуть рационализации подынтегрального выражения.

I. Если . Тогда делают такую замену: .

 

Возводя это равенство в квадрат, найдем , так что

, ,

.

Для определения получается уравнение первой степени, так что , а одновременно с ним также и радикал , выражается рационально через .

Если полученные выражения подставить в , то вопрос сведется к интегрированию рациональной функции от . В результате, возвращаясь к , нужно будет положить

.

II. Если . В этом случае можно положить .

Если возвести в квадрат, уничтожить в обеих частях и сократить на , то получим - снова уравнение первой степени относительно . Отсюда

, ,

.

Подставив это в , очевидно, осуществим рационализацию подынтегрального выражения. Проинтегрировав, в результате положим

.

III. Если квадратный трехчлен имеет различные вещественные корни l и m. Тогда этот трехчлен, как известно, разлагается на линейные множители .

Положим , (или ).

Возводя в квадрат и сокращая на , получим и здесь уравнение первой степени, так что

, , .

Таким образом, интегралы данного класса всегда берутся в конечном виде, причем для представления их, кроме функций, через которые выражаются интегралы рациональных функций, нужны еще лишь квадратные корни.

Отметим, что подстановки Эйлера неудобны для практического использования, т.к. даже при несложных подинтегральных функциях приводят к весьма громоздким вычислениям. Эти подстановки представляют скорее теоретический интерес.

Пример 1.

.

Теперь продифференцируем полученное выражение, умножим на и сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях х.

=

=

 

Итого: =

=

Пример 2.

Пример 3.

Второй способ решения того же самого примера.

С учетом того, что функции arcsin и arccos связаны соотношением , а постоянная интегрирования С – произвольное число, ответы, полученные различными методами, совпадают.

Как видно, при интегрировании иррациональных функций возможно применять различные рассмотренные выше приемы. Выбор метода интегрирования обуславливается в основном наибольшим удобством, очевидностью применения того или иного метода, а также сложностью вычислений и преобразований.

Пример 4.

 

Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Формула Ньютона-Лейбница. Геометрический смысл определенного интеграла.

Геометрический смысл

Определённый интеграл как площадь фигуры

Определённый интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми и и графиком функции .

Вычисление длины дуги кривой

 


y y = f(x)

DSi Dyi

 

Dxi

 

 

a b x

 

Длина ломаной линии, которая соответствует дуге, может быть найдена как .

Тогда длина дуги равна .

Из геометрических соображений:

В то же время

Тогда можно показать, что

Т.е.

Если уравнение кривой задано параметрически, то с учетом правил вычисления производной параметрически заданной функции, получаем

, где х = j(t) и у = y(t).

Если задана пространственная кривая, и х = j(t), у = y(t) и z = Z(t), то

Если кривая задана в полярных координатах, то

, r = f(j).

 

Пример: Найти длину окружности, заданной уравнением x2 + y2 = r2.

 

1 способ.Выразим из уравнения переменную у.

Найдем производную

Тогда

Тогда S = 2pr. Получили общеизвестную формулу длины окружности.

 

2 способ. Если представить заданное уравнение в полярной системе координат, то получим: r2cos2j + r2sin2j = r2, т.е. функция r = f(j) = r, тогда .

Вычисление объемов тел.

 

Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений.

 

 

Q(xi-1)

Q(xi)

 

 

a xi-1 xi b x

 

Пусть имеется тело объема V. Площадь любого поперечного сечения тела Q, известна как непрерывная функция Q = Q(x).

Таким образом, объем тела может быть найден по формуле:

Недостатком этой формулы является то, что для нахождения объема необходимо знать функцию Q(x), что весьма проблематично для сложных тел.

Пример: Найти объем шара радиуса R.

y

 

 

 

R y

 

-R 0 x R x

 

В поперечных сечениях шара получаются окружности переменного радиуса у. В зависимости от текущей координаты х этот радиус выражается по формуле .

Тогда функция площадей сечений имеет вид: Q(x) = .

Получаем объем шара:

.

 

 

Объем тел вращения

Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f(x). Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения.

 

y = f(x)

 

 

x

 

 

Т.к. каждое сечение тела плоскостью x = const представляет собой круг радиуса , то объем тела вращения может быть легко найден по полученной выше формуле:

 

Метод замены переменной

Пусть требуется вычислить интеграл , где непрерывная функция на промежутке . Пусть удовлетворяет следующим условиям:

a) определена и непрерывна на некотором промежутке и ее значения не выходят за пределы промежутка , когда изменяется в ;

b) ;

c) существует в непрерывная производная .

Тогда имеет место формула .

Пример. 1.Найдем интеграл с помощью подстановки ;

роль и здесь играют 0 и . Имеем:

.

2. Рассмотрим интеграл .

 

Пусть . Тогда при , при .

Поэтому .

Интегрирование по частям

Нам уже известна формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла: , в предположении, что функции , от независимой переменной непрерывны в рассматриваемом промежутке вместе со своими производными , .

Для определенного интеграла эта формула имеет вид:

.

Примеры.

1. ,

2. ,

3. .

В экономических задачах для использования определенного интеграла нужно составить некоторую идеализированную модель, пред­полагающую непрерывное изменение зависимых переменных (функций) и независимых переменных (аргумента). Рассмот­рим пример.

Задача. Определить запас товаров в магазине, образуемый за три дня, если поступление товаров характеризуется функцией f(t) = 2t + 5.

Решение. Имеем:

V = .

НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Определенный интеграл

I=∫baf(x)dx

был построен в предположении, что числа a,b конечны и f(x) - непрерывная функция. Если одно из этих предположений нарушается, говорят о несобственных интегралах.

Несобственные интегралы 1 рода

Несобственный интеграл 1 рода возникает, когда по крайней мере одно из чисел a,b бесконечно.

Пример.

Сходящиеся несобственные интегралы 1 рода обладают всеми стандартными свойствами обычных определенных интегралов.

1. Если f(x), g(x) интегрируемы на интервале [a,+∞), то их сумма f(x)+g(x) также интегрируема на этом интервале, причем

∫+∞a(f(x)+g(x))dx=∫+∞af(x)dx+∫+∞ag(x)dx.

2. Если f(x) интегрируема на интервале [a,+∞), то для любой константы C функция Cf(x) также интегрируема на этом интервале, причем

∫+∞aCf(x)dx=C⋅∫+∞af(x)dx.

3. Если f(x) интегрируема на интервале [a,+∞), причем на этом интервале f(x)>0, то

∫+∞af(x)dx>0.

4. Если f(x) интегрируема на интервале [a,+∞), то для любого b>a интеграл

∫+∞bf(x)dx

сходится, причем

∫+∞af(x)dx=∫baf(x)dx+∫+∞bf(x)dx

(аддитивность интеграла по интервалу).

Справедливы также формулы замены переменной, интегрирования по частям и т.д. (с естественными оговорками).

Пример.

Рассмотрим теперь вариант, когда нижний предел интегрирования равен −∞, а верхний конечен, т.е. рассмотрим интегралы

I=∫a−∞f(x)dx.

Однако этот вариант можно свести к предыдущему, если сделать замену переменных x=−s и поменять затем пределы интегрирования местами, так что

I=∫+∞−ag(s)ds,

g(s)=f(−s). Рассмотрим теперь случай, когда имеется два бесконечных предела, т.е. интеграл

I=∫+∞−∞f(x)dx,(21)

причем f(x) непрерывна при всех x∈R. Разобъем интервал на две части: возьмем c∈R, и рассмотрим два интеграла,

I1=∫c−∞f(x)dx,I2=∫+∞cf(x)dx.

Определение. Если оба интеграла I1, I2 сходятся, то интеграл (21) называется сходящимся, ему приписывают значение I=I1+I2 ( в соответствии с аддитивностью по интервалу). Если хотя бы один из интегралов I1, I2 расходится, интеграл (21) называется расходящимся.

Можно доказать, что сходимость интеграла (21) не зависит от выбора точки c.

Несобственные интегралы 1 рода с интервалами интегирования (−∞,c] или (−∞,+∞) также обладают всеми стандартными свойствами определенных интегралов (с соответствующей переформулировкой, учитывающей выбор интервал интегрирования).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА. ОБЩЕЕ И ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА. ТЕОРЕМА КОШИ (БЕЗ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА).

 

Обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка (n=1) имеет вид: или, если его удается разрешить относительно производной: . Общее решениеy=y(x,С) или общий интеграл уравнения 1-го порядка содержат одну произвольную постоянную. Единственное начальное условие для уравнения 1-го порядка позволяет определить значение константы из общего решения или из общего интеграла. Таким образом, будет найдено частное решение или, что тоже, будет решена задача Коши. Вопрос о существовании и единственности решения задачи Коши является одним из центральных в общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Для уравнения 1-го порядка, в частности, справедлива теорема, принимаемая здесь без доказательства.

Теорема 2.1. Если в уравнении функция и ее частная производная непрерывны в некоторой областиD плоскости XOY , и в этой области задана точка , то существует и притом единственное решение , удовлетворяющее как уравнению , так и начальному условию .

Геометрически общее решение уравнения 1-го порядка представляет собой семейство кривых на плоскости XOY, не имеющих общих точек и отличающихся друг от друга одним параметром – значением константы C. Эти кривые называются интегральными кривыми для данного уравнения. Интегральные кривые уравнения обладают очевидным геометрическим свойством: в каждой точке тангенс угла наклона касательной к кривой равен значению правой части уравнения в этой точке: . Другими словами, уравнение задается в плоскостиXOY поле направлений касательных к интегральным кривым.

Замечание: Необходимо отметить, что к уравнению приводится уравнение и так называемое уравнение в симметрической форме .

 

 

12. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.

 

Определение. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида (3.1)

или уравнение вида (3.2)

Для того, чтобы в уравнении (3.1) разделить переменные, т.е. привести это уравнение к так называемому уравнению с разделенными переменными, произвести следующие действия:

;

Теперь надо решить уравнение g(y)= 0. Если оно имеет вещественное решение y=a, тоy=aтоже будет решением уравнения (3.1).

Уравнение (3.2) приводится к уравнению с разделенными переменными делением на произведение :

, что позволяет получить общий интеграл уравнения (3.2): . (3.3)

Интегральные кривые (3.3) будут дополнены решениями , если такие решения существуют.

Пример.

Решить уравнение: .

Решение.

Разделяем переменные:

.

Интегрируя, получаем

Далее из уравнений и находимx=1, y=-1. Эти решения – частные решения.

 

Вопрос 13 Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. етод
вариации постоянной. Уравнение Бернулли.

Метод вариации произвольной постоянной, или метод Лагранжа — еще один способ решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка и уравнения Бернулли.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка — это уравнения вида y’+p(x)y=q(x). Если в правой части стоит нуль: y’+p(x)y=0, то это — линейное однородное уравнение 1го порядка. Соответственно, уравнение с ненулевой правой частью, y’+p(x)y=q(x), — неоднородное линейное уравнение 1го порядка.

Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа)состоит в следующем:

1) Ищем общее решение однородного уравнения y’+p(x)y=0: y=y*.

2) В общем решении С считаем не константой, а функцией от икса: С=С(x). Находим производную общего решения (y*)’ и в первоначальное условие подставляем полученное выражение для y* и (y*)’. Из полученного уравнения находим функцию С(x).

3) В общее решение однородного уравнения вместо С подставляем найденное выражение С(x).

Вопрос14. . Дифференциальные уравнения 2-го порядка. Общее и частное решение дифференциального уравнения 2-го порядка. Теорема Коши (без доказательства); ее геометрический смысл.

Дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид:

. (1.1)

Общим решением уравнения является семейство функций, зависящее от двух произвольных постоянных и : (или – общий интеграл дифференциального уравнения 2-го порядка). Задача Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка (1.1) состоит в отыскании частного решения уравнения, удовлетворяющего начальным условиям: при : , . Необходимо заметить, что графики решений уравнения 2-го порядка могут пересекаться в отличие от графиков решений уравнения 1-го порядка. Однако решение задачи Коши для уравнений 2-го порядка (1.1) при довольно широких предположениях для функций, входящих в уравнение, единственно, т.е. всякие два решения с общим начальным условием , совпадают на пересечении интервалов определения

Получить общее решение или решить задачу Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка аналитически удается далеко не всегда. Однако в некоторых случаях удается понизить порядок уравнения с помощью введения различных подстановок. Разберем эти случаи.

1. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной .

Пусть дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид: , т.е. в уравнении (1.1) явно не присутствует независимая переменная . Это позволяет принять за новый аргумент, а производную 1-го порядка принять за новую функцию . Тогда .

Таким образом, уравнение 2-го порядка для функции , не содержащее явно , свелось к уравнению 1-го порядка для функции . Интегрируя это уравнение, получаем общий интеграл или , а это есть дифференциальное уравнение 1-го порядка для функции . Решая его, получаем общий интеграл исходного дифференциального уравнения, зависящий от двух произвольных постоянных: .

2. Уравнения, не содержащие явно искомой функции .

Пусть дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид: , т.е. в уравнение явно не входит искомая функция . В этом случае вводят постановку . Тогда и уравнение 2-го порядка для функции переходит в уравнение 1-го порядка для функции . Проинтегрировав его, получаем дифференциальное уравнение 1-го порядка для функции : . Решая последнее уравнение, получаем общий интеграл заданного дифференциального уравнения , зависящий от двух произвольных постоянных: .

Вопрос. Признак Даламбера.

Пусть - знакоположительный числовой ряд. Если , то числовой ряд сходится, если , то ряд расходится.

Замечание.

Признак Даламбера справедлив, если предел бесконечен, то есть, если , то ряд сходится, если , то ряд расходится.

Если , то признак Даламбера не дает информацию о сходимости или расходимости ряда и требуется дополнительное исследование.

Пример.

Исследуйте числовой ряд на сходимость по признаку Даламбера.

Решение.

Проверим выполнение необходимого условия сходимости числового ряда, предел вычислим по правилу Лопиталя:

Условие выполнено.

Воспользуемся признаком Даламбера:

Таким образом, ряд сходится.

Неопределенный интеграл: интегрирование иррациональных функций.



Последнее изменение этой страницы: 2016-06-08

headinsider.info. Все права принадлежат авторам данных материалов.