Главная

Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Интегрирование простейших иррациональных функций


Рассмотрим некоторые приемы для интегрирования различных типов иррациональных функций.

Наибольшее практическое значение имеют интегралы от функций, рациональных относительно аргумента и квадратного корня из квадратного трехчлена

Основным приемом интегрирования таких функций будет метод замены переменной. Будем искать такие подстановки, которые привели бы подынтегральное выражение к рациональному виду. Назовем этот прием методом рационализации подынтегрального выражения.

Рассмотрим класс интегралов , где R – рациональная функция двух аргументов, a, b, c – действительные числа.

Предполагаем, что квадратный трехчлен не имеет равных корней, так что корень из него не может быть заменен рациональным выражением.

Теорема: Интеграл вида подстановкой или

сводится к интегралу от рациональной функции относительно sin t или cos t.

Пример 1:

Теорема: Интеграл вида подстановкой или сводится к интегралу от рациональной функции относительно sin t и cos t.

Пример 2:

Теорема: Интеграл вида подстановкой или сводится к интегралу от рациональной функции относительно sin t или cos t.

Пример 3:

2 способ. Подстановки Эйлера.(1707-1783)

 

Рассмотрим три подстановки Эйлера, с помощью которых всегда можно достигнуть рационализации подынтегрального выражения.

I. Если . Тогда делают такую замену: .

 

Возводя это равенство в квадрат, найдем , так что

, ,

.

Для определения получается уравнение первой степени, так что , а одновременно с ним также и радикал , выражается рационально через .

Если полученные выражения подставить в , то вопрос сведется к интегрированию рациональной функции от . В результате, возвращаясь к , нужно будет положить

.

II. Если . В этом случае можно положить .

Если возвести в квадрат, уничтожить в обеих частях и сократить на , то получим - снова уравнение первой степени относительно . Отсюда

, ,

.

Подставив это в , очевидно, осуществим рационализацию подынтегрального выражения. Проинтегрировав, в результате положим

.

III. Если квадратный трехчлен имеет различные вещественные корни l и m. Тогда этот трехчлен, как известно, разлагается на линейные множители .

Положим , (или ).

Возводя в квадрат и сокращая на , получим и здесь уравнение первой степени, так что

, , .

Таким образом, интегралы данного класса всегда берутся в конечном виде, причем для представления их, кроме функций, через которые выражаются интегралы рациональных функций, нужны еще лишь квадратные корни.

Отметим, что подстановки Эйлера неудобны для практического использования, т.к. даже при несложных подинтегральных функциях приводят к весьма громоздким вычислениям. Эти подстановки представляют скорее теоретический интерес.

Метод неопределенных коэффициентов

Рассмотрим интегралы следующих трех типов:

где P(x) – многочлен, n – натуральное число.

Причем интегралы II и III типов могут быть легко приведены к виду интеграла I типа.

Далее делается следующее преобразование:

в этом выражении Q(x)- некоторый многочлен, степень которого ниже степени многочлена P(x), а l - некоторая постоянная величина.

Для нахождения неопределенных коэффициентов многочлена Q(x), степень которого ниже степени многочлена P(x), дифференцируют обе части полученного выражения, затем умножают на и, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, определяют l и коэффициенты многочлена Q(x).

Данный метод выгодно применять, если степень многочлена Р(х) больше единицы. В противном случае можно успешно использовать методы интегрирования рациональных дробей, рассмотренные выше, т.к. линейная функция является производной подкоренного выражения.

Пример 1.

.

Теперь продифференцируем полученное выражение, умножим на и сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях х.

=

=

 

Итого: =

=

Пример 2.

Пример 3.

Второй способ решения того же самого примера.

С учетом того, что функции arcsin и arccos связаны соотношением , а постоянная интегрирования С – произвольное число, ответы, полученные различными методами, совпадают.

Как видно, при интегрировании иррациональных функций возможно применять различные рассмотренные выше приемы. Выбор метода интегрирования обуславливается в основном наибольшим удобством, очевидностью применения того или иного метода, а также сложностью вычислений и преобразований.

Пример 4.

 



Последнее изменение этой страницы: 2016-06-08

headinsider.info. Все права принадлежат авторам данных материалов.