Главная

Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Формула Ньютона-Лейбница. Геометрический смысл определенного интеграла.


Понятие определенного интеграла

Зададим на отрезке неотрицательную непрерывную функцию . Требуется вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой , осью , прямыми и . Эту фигуру принято называть криволинейной трапецией.

Разобьем отрезок на частей точками , выберем на каждом из полученных частичных отрезков по произвольной точке , определим значения функции в этих точках и составим сумму:

, ,

которую называютинтегральной суммойи которая, очевидно, равна сумме площадей затушеванных прямоугольников.

 

Будем стремить все к нулю. Если при этом величина стремится к определенному пределу , независящему от способов разбиения отрезка и выбора точек на частичных отрезках, то величина S является площадью криволинейной трапеции. Таким образом, этот предел будем называть определенным интегралом функции f(x) на сегменте и обозначать символом

.

Числа и носят название, соответственно, нижнего и верхнего пределов интегрирования, f(x) - подынтегральная функция, f(x)dx - подынтегральное выражение.

Ответ на вопрос о том, какие функции являются интегри­руемыми (т.е. существует определенный интеграл, да­ют следующие теоремы:

ТЕОРЕМА 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то она интегрируема на нем.

ТЕОРЕМА 2. Если определенная и ограниченная на отрезке [а, b] функция f(x) имеет конечное число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке.

ТЕОРЕМА 3. Монотонная на отрезке [а, b] функция f(x) ин­тегрируема на этом отрезке.

 

Теорема Ньютона-Лейбница.Пусть задана непрерывная функция на отрезке и пусть есть ее первообразная. Тогда вычисление определенного интеграла от на сводится к простой подстановке чисел и в :

.

Примеры.1. , ,

2. , .

Таким образом, для вычисления определенного интеграла достаточно уметь вычислять неопределенный интеграл.

Геометрический смысл

Определённый интеграл как площадь фигуры

Определённый интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми и и графиком функции .

Геометрические приложения определенного интеграла

Вычисление площадей плоских фигур

 


у

 

+ +

 

0 a - b x

 

Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Если график расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак “+”.

Для нахождения суммарной площади используется формула .

Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих линий.

 

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x2, x = 2.

 

 

Искомая площадь (заштрихована на рисунке) может быть найдена по формуле:

(ед2)

 

Нахождение площади криволинейного сектора

 

r = f(j)

 

 

b

a

О r

Для нахождения площади криволинейного сектора введем полярную систему координат. Уравнение кривой, ограничивающей сектор в этой системе координат, имеет вид r = f(j), где r - длина радиус – вектора, соединяющего полюс с произвольной точкой кривой, а j - угол наклона этого радиус – вектора к полярной оси.

Площадь криволинейного сектора может быть найдена по формуле:

Вычисление длины дуги кривой

 


y y = f(x)

DSi Dyi

 

Dxi

 

 

a b x

 

Длина ломаной линии, которая соответствует дуге, может быть найдена как .

Тогда длина дуги равна .

Из геометрических соображений:

В то же время

Тогда можно показать, что

Т.е.

Если уравнение кривой задано параметрически, то с учетом правил вычисления производной параметрически заданной функции, получаем

, где х = j(t) и у = y(t).

Если задана пространственная кривая, и х = j(t), у = y(t) и z = Z(t), то

Если кривая задана в полярных координатах, то

, r = f(j).

 

Пример: Найти длину окружности, заданной уравнением x2 + y2 = r2.

 

1 способ.Выразим из уравнения переменную у.

Найдем производную

Тогда

Тогда S = 2pr. Получили общеизвестную формулу длины окружности.

 

2 способ. Если представить заданное уравнение в полярной системе координат, то получим: r2cos2j + r2sin2j = r2, т.е. функция r = f(j) = r, тогда .

Вычисление объемов тел.

 

Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений.

 

 

Q(xi-1)

Q(xi)

 

 

a xi-1 xi b x

 

Пусть имеется тело объема V. Площадь любого поперечного сечения тела Q, известна как непрерывная функция Q = Q(x).

Таким образом, объем тела может быть найден по формуле:

Недостатком этой формулы является то, что для нахождения объема необходимо знать функцию Q(x), что весьма проблематично для сложных тел.

Пример: Найти объем шара радиуса R.

y

 

 

 

R y

 

-R 0 x R x

 

В поперечных сечениях шара получаются окружности переменного радиуса у. В зависимости от текущей координаты х этот радиус выражается по формуле .

Тогда функция площадей сечений имеет вид: Q(x) = .

Получаем объем шара:

.

 

 

Объем тел вращения

Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f(x). Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения.

 

y = f(x)

 

 

x

 

 

Т.к. каждое сечение тела плоскостью x = const представляет собой круг радиуса , то объем тела вращения может быть легко найден по полученной выше формуле:

 



Последнее изменение этой страницы: 2016-06-08

headinsider.info. Все права принадлежат авторам данных материалов.