Главная

Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА: ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ОБЛАСТИ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ; ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ.


1. Вычисление площади плоской фигуры

1.1. Пусть функция непрерывна и неотрицательна на отрезке [a, b]. Тогда площадь фигуры, ограниченной осью ОХ, отрезками прямых x = a, x = b и графиком функции , может быть вычислена по формуле (см. 10.1 рис. 1).

1.2. Если на отрезке [a, b], - непрерывные функции, то площадь фигуры, ограниченной прямыми х = а, x = b, графиками функций вычисляется по формуле (рис. 10).

1.3. Если функция на отрезке [a, b] принимает значения разных знаков, то площадь фигуры, заключенная между кривой и осью , равна (рис. 11).

 

Рис. 10 Рис. 11

 

4. Вычисление объемов. Нахождение объемов некоторых тел можно свести к вычислению определенных интегралов.

4.1. Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений. Если известны площади сечений тела плоскостями, перпендикулярными оси OX, т. е., зная х, мы можем вычислить площадь сечения S = S (x). Тогда объем тела в предположении, что S(x) - интегрируемая функция.

 

4.2. Вычисление объема тела вращения:

а) если тело образовано вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью OX и двумя прямыми x = a и x = b(a < b) вокруг оси OX, то объем тела ;

б) а если тело образовано вращением фигуры, ограниченной кривой , прямыми y=c, y=d (c<d) и осью OY, вокруг оси OY, то его объем ;

в) если тело образовано вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной линией y = f (x), прямыми x = a, x = b и осью OX, то его объем можно вычислить по формуле ;

г) если вращается вокруг полярной оси криволинейный сектор, ограниченный дугой , двумя полярными радиусами и , то объем полученного тела может быть вычислен по формуле .

НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Определенный интеграл

I=∫baf(x)dx

был построен в предположении, что числа a,b конечны и f(x) - непрерывная функция. Если одно из этих предположений нарушается, говорят о несобственных интегралах.

Несобственные интегралы 1 рода

Несобственный интеграл 1 рода возникает, когда по крайней мере одно из чисел a,b бесконечно.

Определение и основные свойства

Рассмотрим сначала ситуацию, когда нижний предел интегрирования конечен, а верхний равен +∞, другие варианты обсудим несколько позднее. Для f(x), непрерывной при всех интересующих нас x, рассмотрим интеграл

I=∫+∞af(x)dx.(19)

Прежде всего надо установить смысл этого выражения. Для этого введем функцию

I(N)=∫Naf(x)dx

и рассмотрим ее поведение при N→+∞.

Определение. Пусть существует конечный предел

A=limN→+∞I(N)=limN→+∞∫Naf(x)dx.

Тогда говорят, что несобственный интеграл 1 рода (19) является сходящимся и ему приписывают значение A, саму функцию называют интегрируемой на интервале [a,+∞). Если же указанного предела не существует или он равен ±∞, то говорят, что интеграл (19) расходится.

Пример.

Сходящиеся несобственные интегралы 1 рода обладают всеми стандартными свойствами обычных определенных интегралов.

1. Если f(x), g(x) интегрируемы на интервале [a,+∞), то их сумма f(x)+g(x) также интегрируема на этом интервале, причем

∫+∞a(f(x)+g(x))dx=∫+∞af(x)dx+∫+∞ag(x)dx.

2. Если f(x) интегрируема на интервале [a,+∞), то для любой константы C функция Cf(x) также интегрируема на этом интервале, причем

∫+∞aCf(x)dx=C⋅∫+∞af(x)dx.

3. Если f(x) интегрируема на интервале [a,+∞), причем на этом интервале f(x)>0, то

∫+∞af(x)dx>0.

4. Если f(x) интегрируема на интервале [a,+∞), то для любого b>a интеграл

∫+∞bf(x)dx

сходится, причем

∫+∞af(x)dx=∫baf(x)dx+∫+∞bf(x)dx

(аддитивность интеграла по интервалу).

Справедливы также формулы замены переменной, интегрирования по частям и т.д. (с естественными оговорками).

Пример.

Рассмотрим теперь вариант, когда нижний предел интегрирования равен −∞, а верхний конечен, т.е. рассмотрим интегралы

I=∫a−∞f(x)dx.

Однако этот вариант можно свести к предыдущему, если сделать замену переменных x=−s и поменять затем пределы интегрирования местами, так что

I=∫+∞−ag(s)ds,

g(s)=f(−s). Рассмотрим теперь случай, когда имеется два бесконечных предела, т.е. интеграл

I=∫+∞−∞f(x)dx,(21)

причем f(x) непрерывна при всех x∈R. Разобъем интервал на две части: возьмем c∈R, и рассмотрим два интеграла,

I1=∫c−∞f(x)dx,I2=∫+∞cf(x)dx.

Определение. Если оба интеграла I1, I2 сходятся, то интеграл (21) называется сходящимся, ему приписывают значение I=I1+I2 ( в соответствии с аддитивностью по интервалу). Если хотя бы один из интегралов I1, I2 расходится, интеграл (21) называется расходящимся.

Можно доказать, что сходимость интеграла (21) не зависит от выбора точки c.

Несобственные интегралы 1 рода с интервалами интегирования (−∞,c] или (−∞,+∞) также обладают всеми стандартными свойствами определенных интегралов (с соответствующей переформулировкой, учитывающей выбор интервал интегрирования).



Последнее изменение этой страницы: 2016-06-08

headinsider.info. Все права принадлежат авторам данных материалов.