Главная

Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Условный экстремум: функция Лагранжа, метод множителей Лагранжа.


Конечномерной экстремальной задачей с ограничениями типа равенств называется задача в En:

Пусть XÍ En. Найти

F0(x)®extr; (1)

при ограничениях: Fi(x)=0, i=1,…,m, x=(x1, x2, …, xn), m<n, x Î X. (2)

Далее считаем, что все функции Fi (i=0, 1, … ,m) в X непрерывно дифференцируемы (в том смысле, что все частные производные ¶Fi / ¶xi (k = 1, … , n) существуют и непрерывны в X).

В связи с этим вводится понятие условного экстремума.

Пусть Y множество точек x, для которых выполняется равенства (2). По определению точка x*ÎX есть точка локального условного минимума (максимума) функции F0(x) при наличии ограничений (2), если x*ÎY и существует d > 0 такое, что для всех x ÎY, удовлетворяет неравенству:

имеет место

F0(x)³ F0(x*), (в случае минимума)

F0(x)£ F0(x*), (в случае максимума).

Точка локального условного максимума или минимума называется точкой локального экстремума.

По определению точка x* Î X есть точка (глобального) условного минимума (максимума) функции F0(x) при наличии ограничений (2), если x*ÎY и имеет место для всех x Î X

F0(x)³ F0(x*), (в случае минимума)

F0(x)£ F0(x*), (в случае максимума).

Множество всех точек минимума и максимума функции на множестве Y принято называть точками экстремума функции на этом множестве или, просто, точками экстремума.

Отметим одну теорему из математического анализа:

Теорема Вейерштрасса.

Если функция u = f(x), xÎM (M Í Rn), непрерывна на замкнутом ограниченном множестве M, то она достигает на этом множестве своих точных верхней и нижней граней (то есть решение задачи f(x) ® max (min) существует).

Следствие. Если функция u = f(x) непрерывна на Rn и lim f(x) = + µ при x ® µ (lim f(x) = - µ при x ® µ), то f достигает своего абсолютного минимума (максимума) на любом замкнутом подмножестве R*.

Это теорема и ее следствие часто используется при решении экстремальных задач и выступают самостоятельно и независимо от приведенных ниже методов.

Метод множителей Лагранжа является классическим методом решения экстремальных задач с ограничениями.

Классический подход к решению задачи (1), (2) дает метод множителей Лагранжа. Суть этого метода в следующем. Вводится функция Лагранжа

λ = (λ0, λ1, , λm) (3)

от переменных x1, x2, …, xn, λ0, λ1, , λm, λ Î Em+1.

Оказывается, если x* = (x1*, x2*, …, xn*) – точка локального минимума или максимума функции F0(x) на множестве X, то необходимо существуют числа (λ0, λ1, , λm), не равные все одновременно нулю, называемые множителями Лагранжа, также, что

, i = , (4)

то есть векторы

будут в точке x* линейно зависимы.

Таким образом, для определения x*, λ* получается n+m уравнений:

с n+m+1 неизвестными. Следует учесть, что множителями Лагранжа определены при этом с точностью до пропорциональности. Если известно, что λ0≠0, то можно, умножив все λi на константу, добиться равенства λ0=1. Тогда число уравнений сравнятся с числом неизвестных. Однако заметим, что не исключен случай λ0=0. Случай λ0≠0 обосновывается следующим образом:

Для того чтобы λ0≠0, достаточно, чтобы векторы F’1(x*), … , F’m(x*) были линейно независимы.

Действительно, векторы F’0(x*), F’1(x*), … , F’m(x*) образуют линейно зависимую систему. В нашем утверждении ее подсистема F’1(x*), … , F’m(x*) линейно независима, поэтому F’0(x*) можно линейно выразить через F’1(x*), … , F’m(x*), но тогда λ0≠0.

Из этого следует правило решения задачи (1), (2).

Правило решения экстремальной задачи с ограничениями типа равенств.

1. Составить функцию Лагранжа

2. Выписать необходимое условие экстремума

(*)

3. Рассмотреть n уравнений (*) вместе с m уравнениями ограничениями

(**)

Полученная система содержит n+m уравнений с n+m+1 неизвестными x1, x2, …, xn, λ0, λ1, , λm.

Несмотря на то, что система содержит число неизвестных на одно больше, чем число уравнений, данную систему можно свести к системе с n+m неизвестными, рассмотрев случаи λ0=0 и λ0≠0 (Чаще всего полагают λ0=1 или λ0=-1, когда λ0≠0). Тогда в (*) – (**) число уравнений будет равно числу неизвестных.

4. Найти стационарные точки, то есть допустимые решения системы уравнений (*) – (**), в которой не все множители Лагранжа равны нулю.

Отыскать решение среди всех стационарных точек или доказать, что решения нет.

 



Последнее изменение этой страницы: 2016-08-11

headinsider.info. Все права принадлежат авторам данных материалов.