Главная

Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.


· Линейными неоднородными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами. называются уравнения вида

y" + py' + qy = f(x) (1),

где

р и q – произвольные постоянные,

f(x) – некоторая непрерывная функция.

Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения (1) находят в виде:

у = y0 + yчаст. ,

где

у0 - общее решение соответствующего линейного однородного уравнения:

y" + py' + qy = 0 ,

yчаст. - частное решение исходного неоднородного уравнения (1).

· Установлено, что если функция f(x) имеет вид: f(x ) = Pn(х)×еaх, где Pn(х)многочлен n степени, a-const, aÎR, то yчаст находят в следующем виде:

1. Если число a не является корнем характеристического уравнения к2+рк+q=0, то

yчаст .= Qn(x)eax

2. Если a совпадает с одним из корней характеристического уравнения к2+рк+q=0 : a = k1 или a = k2, то

yчаст.= x×Qn(x)×eax

3. Если оба корняхарактеристического уравнения к2 + рк + q = 0 равны a: k1 = k2 = a, то

yчаст. = x2×Qn(x)×eax

· Здесь Qn(x) – многочлен степени n с неопределенными коэффициентами, которые в дальнейшем подлежат определению (см. примеры).

 

Решение типовых примеров

1. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения.

 

Данное уравнение не является уравнением с разделяющимися переменными вида y' = f1(x)×f2(y). Проверим, не является ли оно однородным дифференциальным уравнением первого порядка вида y' = f(x,y), где

f(lx,ly) = f(x,y):

т.е. исходное уравнение является однородным.

Введем замену:

Подставим в исходное уравнение:

Ø Разделим переменные:

Ø Проинтегрируем полученное уравнение с разделенными переменными:

Ø Найдем интеграл левой части уравнения:

Ø Найдем интеграл правой части уравнения:

.

Ø Приравняем найденные результаты:

Ø Используем свойства логарифмов:

.

Ø Потенцируем равенство:

 

Ø Подставим вместо получим

.

Ø Общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:

,

где С – произвольная постоянная.

 

2. Найти частное решение однородного дифференциального уравнения второго порядка при заданных начальных условиях:

.

Составим для данного д. уравнения характеристическое уравнение:

k2 - 6k + 8 = 0

Оно имеет два различных, действительных корня

k1 = 2; k2 = 4.

Тогда общее решение уравнения имеет вид:

y = C1e2x + C2e4x,

где С1 и С2 – произвольные постоянные.

Найдем производную общего решения у':

y' = 2C1e2x + 4C2e4x,

Используя начальные условия получим следующую систему уравнений:

 

Решаем систему относительно С1 и С2 найдем: С1 = 1; С2 = 0.

Подставим найденные значения С1 и С2 в общее решение, получим искомое частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

y = e2x

3. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

 

Общее решение данного уравнения находим в виде:

y = y0 + yчаст.

Ø Найдем общее решение у0 соответствующего однородного дифференциального уравнения

 

 

Ø Составим характеристическое уравнение:

k2 - k – 6 = 0 (3)

Найдем его корни: k1 = -2; k2 = 3действительные и различные, поэтому общее решение имеет вид:

,

где С1 и С2 – произвольные постоянные.

Ø Найдем частное решение уравнения (1).

Так как функция f(x) = (2x-1)e2x имеет вид Pn(x)eax, где Pn(x) = 2x -1 – многочлен 1-ой степени и a = 2 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение уравнения (1) запишем в виде:

yчаст.= (Ax +B)e2x (5)

где А и В – коэффициенты, подлежащие определению. Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.

Найдем yч' и yч"

и подставим их в уравнение (1):

(Ах +А +В)- е(2Ах + А +2В)-6е(Ах + В) =(2х -1) е;

Поделим обе части уравнения на е :

 

4(Ах +А + В) - (2А + А + 2В) - 6(Ах +В) = 2х - 1 Þ

4Ах + 4А + 4В - 2Ах – А – 2В - 6Ах - 6В = 2х - 1 Þ

-4Ах+(3А-4В) = 2х-1 Þ - 4Ax = 2x ; 3A- 4B= -1.

Откуда следует, что коэффициенты А и В должны удовлетворять, следующей системе уравнений:

Решив ее, найдем А= -0,5; B= -0,125.

Ø Подставим найденные значения А и В в уравнение (5) и найдем частное решение:

Следовательно, общее решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка (1) имеет вид:

 

 

 

 

Тема 7. Ряды

 

Ø Литература

Забейворота В.И., Иванова В.Н., Завьялов О.Г.

Математика в экономике (Основы математического анализа). Учебное пособие. УрСЭИ, Челябинск, 2002

 

Пусть дана бесконечная числовая последовательность

a1, a2, a3,,…,an, …= {an} (1)

которая считается заданной, если задана формула (закон), по которой вычисляется общий n-й (энный) член этой последовательности:

an = f(n), n = 1,2,3,…

· Под числовым рядом понимают бесконечную сумму членов заданной бесконечной числовой последовательности:

Для данного ряда можно составить последовательность его частичных сумм:

S1,S2,S3,…Sn,…= {Sn} (3),

где

S1=a1

S2= a1+ a2

S3= a1+ a2+a3

……

Sn= a1+ a2+a3+…+an - n-я частичная сумма ряда

 

Предположим, что закон по которому образуется Sn известен:

Sn = F(n)

· Если существует предел частичной суммы

равный некоторому числу S, т.е. то это число называют суммой ряда и обозначают:

При этом говорят, что ряд сходится к данному числу S.

· Если же предел частичной суммы

не существует или равен бесконечности, то ряд суммы не имеет и говорят, что он расходится.

Пусть дан, сходящийся ряд:

Составим разность S – Sn:

S – Sn = an+1 + an+2 + an+3 +… или S – Sn = Rn,

где Rn = an+1 + an+2 + an+3 +…и называется остатком ряда.

Вычислим предел

Таким образом, для сходящихся рядов выполняется равенство

 

S = Sn + Rn ,

 

Итак, можно следующим образом вычислять приближенно сумму ряда S:

Ø взяв n = 10 (10 членов ряда) найдем S » S10, где R10 и будет погрешностью вычислений;

Ø взяв n = 100 (100 членов ряда) найдем S » S100, где R100 и будет погрешностью вычислений;

Ø взяв n=1000 (1000 членов ряда) найдем S » S1000, где R1000 и будет погрешностью вычислений.

При этом каждый раз сумма ряда будет вычисляться все точнее и точнее, все с меньшей и меньшей погрешностью.

 



Последнее изменение этой страницы: 2016-06-09

headinsider.info. Все права принадлежат авторам данных материалов.