Главная

Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными


 

Простейшим д .у.1 является уравнение вида Как известно из курса интегрального исчисления, функция y находится интегрированием

 

Определение. Уравнение вида называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными. Его можно записать в виде

Проинтегрируем обе части уравнения, получим так называемый общий интеграл (или общее решение).

Пример.

Решение.Запишем уравнение в виде Проинтегрируем обе части уравнения: (общий интеграл дифференциального уравнения).

Определение.Уравнение вида называется уравнением с разделяющимися переменными, если функции можно представить в виде произведения функций

 

,

,

 

т. е. есть уравнение имеет вид

 

Чтобы решить такое дифференциальное уравнение, нужно привести его к виду дифференциального уравнения с разделенными переменными, для чего разделим уравнение на произведение Действительно, разделив все члены уравнения на произведение ,

получим

– дифференциальное уравнение с разделенными переменными.

Для решения его достаточно почленно проинтегрировать

При решении дифференциального уравнения с разделяющимися переменными можно руководствоваться следующим алгоритмом (правилом) разделения переменных.

Первый шаг. Если дифференциальное уравнение содержит производную , ее следует записать в виде отношения дифференциалов:

 

Второй шаг.Умножим уравнение на , затем сгруппируем слагаемые, содержащие дифференциал функции и дифференциал независимой переменной .

 

Третий шаг.Выражения, полученные при , представить в виде произведения двух множителей, каждый из которых содержит только одну переменную ( ). Если после этого уравнение примет вид то, разделив его на произведение , получим дифференциальное уравнение с разделенными переменными.

 

Четвертый шаг. Интегрируя почленно уравнение, получим общее решение исходного уравнения (или его общий интеграл).

 

Рассмотрим уравнения

 

№ 1.

№ 2.

№ 3.

Дифференциальное уравнение № 1 является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, по определению. Разделим уравнение на произведение Получим уравнение

 

Интегрируя, получим

или

Последнее соотношение есть общий интеграл данного дифференциального уравнения.

В дифференциальном уравнении № 2 заменим умножим на , получим

 

общее решение дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение № 3 не является уравнением с разделяющимися переменными, т. к., записав его в виде

или ,

 

видим, что выражение в виде произведения двух множителей (один –

только с y, другой – только с х) представить невозможно. Заметим, что иногда нужно выполнить алгебраические преобразования, чтобы видеть, что данное дифференциальное уравнение – с разделяющимися переменными.

Пример № 4. Дано уравнение Преобразуем уравнение, вынося общий множитель слева Разделим левую и правую части уравнения на произведение получим

 

 

Проинтегрируем обе части уравнения:

 

 

откуда – общий интеграл данного уравнения. (а)

Заметим, что если постоянную интегрирования записать в виде , то общий интеграл данного уравнения может иметь другую форму:

 

или – общий интеграл. (б)

Таким образом, общий интеграл одного и того же дифференциального уравнения может иметь различную форму. Важно в любом случае доказать, что полученный общий интеграл удовлетворяет данному дифференциальному уравнению. Для этого нужно продифференцировать по х обе части равенства, задающего общий интеграл, учитывая, что y есть функция от х. После исключения с получим одинаковые дифференциальные уравнения (исходное). Если общий интеграл , (вид (а)), то

 

Если общий интеграл (вид (б)), то

 

 

 

Получим то же уравнение, что и в предыдущем случае (а).

Рассмотрим теперь простые и важные классы уравнений первого порядка, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными.



Последнее изменение этой страницы: 2016-06-10

headinsider.info. Все права принадлежат авторам данных материалов.