Главная

Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Дифференциальные уравнения второго порядка


Дифференциальное уравнение второго порядка (д.у. II) содержит вторую производную некоторой функции, саму эту функцию, независимую переменную и первую производную. Д.у. II может быть записано в виде

или

Определение.Общим решением д.у.II называется функция зависящая от двух произвольных постоянных , такая, что

1) она удовлетворяет уравнению при любых значениях постоянных

2) каковы бы ни были начальные условия , можно найти такие значения при которых функция удовлетворяет этим условиям.

Определение.Всякая функция, полученная из общего решения при конкретных значениях постоянных , называется частным решением д.у.II.

Заметим, что начальные условия для д.у. II представляют собой заданные значения функции и ее производной при одном и том же данном значении независимой переменной Их обычно записывют

или т. е. задать начальные условия для нахождения частного решения д.у. II – значит задать три числа:

Пример.Дано д.у.II . Проверим, что его общим решением является функция

Найдем первую и вторую производные этой функции

Подставив в данное уравнение, получим

 

или

 

верное равенство. Найдем частное решение этого уравнения при заданных начальных условиях Подставим эти условия в выражения y и

или

Решив эту систему, получим значения постоянных при которых из общего решения выделим искомое частное решение

Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка и способы их решения.

 

Дифференциальные уравнения второго порядка,

Допускающие понижение порядка

Рассмотрим некоторые типы д.у. II, решение которых сводится к решению дифференциальных уравнений первого порядка.

1-й тип. Простейший тип таких уравнений – это Дифференциальное уравнение содержит только вторую производную и некоторую функцию от х

(ни сама функция y, ни ее первая производная в уравнение не входят). Уравнение вида решается последовательным интегрированием два раза.

Пример 1.

Получили уравнение первого порядка

отсюда

общее решение исходного уравнения (содержит две произвольные постоянные

и ).

Аналогично решаются и дифференциальные уравнения порядков выше второго, если они имеют такой же вид, например:

Пример 2.

общее решение данного уравнения.

Пример 3.

 

общее решение уравнения. Обратите внимание, общее решение дифференциального уравнения третьего порядка содержит три произвольные постоянные , а дифференциального уравнения четвертого порядка – уже четыре Допускают понижение порядка и дифференциальные уравнения вида

2-й тип. т. е. уравнения, в которые явно не входит сама искомая функция у. Решаются такие уравнения подстановкой где вспомогательная функция. Тогда Подставив в данное уравнение, получим уравнение – дифференциальное уравнение первого порядка.

Пример 4. Решить уравнение

(9)

 

Положим и уравнение примет вид

– (10)

это линейное уравнение первого порядка относительно функции

Решаем его подстановкой где

 

Получим

 

Функция

Исходное уравнение (9) решалось подстановкой Поэтому

Интегрируя, получим

общее решение уравнения (9).

 

Пример 5. Найти частное решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям Применим подстановку

Получим уравнение .

Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными относительно функции р. Разделим переменные:

 

 

Интегрируя, получим

 

 

Откуда

 

Используем второе начальное условие получим

 

Следовательно,

 

а после интегрирования

 

Применим первое начальное условие получим

 

 

Искомым частным решением будет

Еще одним типом уравнений, допускающих понижение порядка, является уравнение вида

Й тип

 

т. е. уравнение, не содержащее явно независимую переменную х. Здесь порядок уравнения понижается на единицу путем следующей замены:

где

Здесь р – новая вспомогательная функция, а у играет роль независимой переменной. Тогда т. е.

 

Заметим, что вторая производная получена по правилу дифференцирования сложной функции.

Подставив выражения в данное уравнение, получим

 

 

уравнение первого порядка относительно р как функции от у.

Пример 6. Найти общее решение уравнения

(11)

Полагаем получим – (12)

 

это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Приведя его к

виду и интегрируя, получим

Так как исходное уравнение (11) решалось с помощью подстановки получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно искомой функции у от х .

 

Но так как произвольные постоянные, также произвольные постоянные. Поэтому полученный общий интеграл данного дифференциального уравнения можно записать в виде

т.е.

или

 

Пример 7.Найти частное решение уравнения при начальных условиях Применим подстановку Тогда

Получим уравнение первого порядка:

 

Разделив уравнение на получим

Это линейное уравнение первого порядка относительно функции

Решаем его подстановкой

Тогда

 

 

 

 

 

Интеграл справа берем по частям с помощью подстановки

Тогда

 

Таким образом,

 

Тогда функция

 

Таким образом, , или

 

Найдем значение из начальных условий

 

 

Таким образом

 

 

Заметим, что константа может быть обозначена как с, т. к. – произвольная константа тоже произвольная постоянная. Таким образом,

Найдем с из первого начального условия

 

 

Искомое частное решение имеет вид

 

 



Последнее изменение этой страницы: 2016-06-10

headinsider.info. Все права принадлежат авторам данных материалов.