Главная

Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Лабораторная работа 3. Решение систем линейных


Алгебраических уравнений методом итераций

 

Работа выполняется с использованием палитры программирования системы автоматизации математических вычислений Mathcad.

Задания:

1. Разработать программу для решения системы линейных алгебраических уравнений методом итераций.

2. В программе предусмотреть проверку существования единственного решения, воспользовавшись процедурой «proverka», рассмотренной в лабораторной работе 2.

3. В программе предусмотреть вывод числа итераций, необходимых для достижения заданной точности (точность определяется погрешностью ε).

4. Решить систему уравнений, определенную вариантом задания (задания определены в лабораторной работе 2, погрешность ε положить равной 0,0001 ).

5. Найти теоретическую оценку числа итераций, необходимых для достижения заданной точности. Сравнить её с фактическим значением.

6. Произвести проверку решения с помощью процедуры решения системы линейных алгебраических уравнений isolve (X:= isolve(A,В)).

7. Изменить матрицу коэффициентов А, сделав систему уравнений линейно зависимой, и проверить работоспособность программы в этом случае.

 

Требования к оформлению отчета

1) название и цель работы;

2) задание на работу;

3) текст программы на Mathcadе;

4) результаты работы программы;

5) проверка решения.

 

 

Контрольные вопросы

 

1. В каком случае целесообразно применять итерационный метод решения систем линейных алгебраических уравнений ?

2. Сформулируйте условие сходимости итерационного процесса.

3. Что такое l-норма матрицы?

4. Что такое m-норма матрицы?

5. Как оценить количество итераций, необходимое для достижения заданной точности?

Примечание:при выполнении работы используйте вспомогательные материалы, приведенные в лабораторной работе 2.

 

 

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Пусть f(x) = 0 некоторое уравнение. Число ξ называется корнем или решениемданного уравнения, если оно, будучи подставлено в уравнение, обращает его в равенство (f (ξ) = 0). Число ξ называют также нулем функции y = f(x).

Нахождение действительных корней с определенной точностью можно разбить на два этапа:

1. Отделение корней, то есть установление промежутков, в которых содержится один корень уравнения.

2. Вычисление корня, принадлежащего выбранному промежутку, с заданной точностью.

Для отделения корней составляют таблицу значений функции y = f(x) на определенном промежутке изменения аргумента х, и если окажется, что для соседних значений аргументов значения функции имеют разные знаки, то нуль находится между ними.

Возможны и другие способы отделения корней, например, графические (рис. 3.1).

После отделения корней для вычисления корня можно применить ниже следующие методы.

Метод половинного деления.

Пусть дано уравнение

f(x) = 0, (3.1)

причем функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и f(a)f(b) < 0.

Для вычисления корня уравнения (3.1), принадлежащего отрезку [a,b] , найдем середину этого отрезка x1=(a+b)/2. Если f(x1) 0 , то для продолжения вычислений выберем ту из частей банного отрезка [a,x1] или [x1,b], на концах которой функция f(x) имеет противоположные знаки. Концы нового отрезка обозначим через a1 и b1.

Новый суженный промежуток [a1, b1] снова делим пополам и продолжаем вычисления по разработанной схеме и т. д. В результате получаем либо точный корень уравнения (3.1) на каком - то этапе , либо последователь-ность вложенных отрезков [a, b] , [a1, b1 ] , . . . , [a n, bn] , . . таких , что

f(a n)f(bn)<0 (n =1,2,...); (3.2)

bn-a n=(1/2n) (b-a).

Число ξ – общий предел последовательности { a n } и { b n } – является корнем уравнения f(x) = 0.

Оценку погрешности решения на n-м шаге вычислений можно получить из соотношения (3.3)

0 < ξ - a n ( 1/ 2 n) ( b- a ) = b n - a n .

Здесь a n ξ c точностью ε не превышающей ( 1/ 2 n) ( b- a ).

 

 

 
 


Рис. 3.1.

Наличие единственного корня уравнения на интервале [a,b]



Последнее изменение этой страницы: 2016-06-10

headinsider.info. Все права принадлежат авторам данных материалов.