Главная

Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Тема 1.1 Алгоритмы метода Гаусса


Тема 1.2 Технические системы с неполной матрицей наблюдений

Задача оценки состояния недоопределенных систем

Типичным случаем недоопределённых систем являются групповые эталоны. В частности, эталоны времени и частоты, в которых в качестве вектора состояния рассматриваются относительные отклонения частоты стандартов, входящих в состав эталона. Структурная схема измерений, выполненных в таких эталонах, приведена на рисунке 2.

 

Рис. 2 – Структурная схема измерений

 

Если пренебречь шумами измерительной системы, а для измерений, выполняемых на суточных интервалах, это вполне допустимо, то для нахождения вектора состояния эталона достаточно получить оценку состояния опорного элемента (на рис. 2 это первый элемент). Оценки других составляющих вектора состояния найдутся немедленно из результатов измерений, выполненных на k-м такте.

В групповых эталонах измерения выполняются путем сличения их элементов друг с другом. Чаще всего применяется схема сличения всех элементов с одним из них, выбранным в качестве «опорного». Без потери общности будем считать опорным первый элемент. Тогда матрица измерений имеет вид

 

(24)

Размерность матрицы - (n-1) *(n).

Эталоны времени и частоты можно рассматривать как динамические системы, в которых вектор состояния представлен в виде относительных отклонений частот квантово-механических генераторов, входящих в состав эталона. С течением времени относительные отклонения частот – yi меняют свои значения. Результаты измерений, выполненных в момент времени tj, –

zji= yj1 – yj,i+1 (25) ,

где j = 1,2, …

i = 1,2,…,n-1

В уравнении (25) предполагается, что измерения выполняются через равные интервалы времени.

Различаются два режима обработки данных: статический и динамический. В статическом режиме предполагается, что все данные, полученные с момента t=1 до t=N , имеются в распоряжении исследователя и могут обрабатываться одновременно. При обработке данных в динамическом режиме используются результаты измерений, выполненных в момент tk, и априорная информация об объекте, чаще всего представленная в виде прогнозов вектора состояния. Как правило, прогнозы вычисляются на основе математической модели, описывающей динамику объекта. Оптимальные оценки вектора состояния в динамическом режиме обработки данных находятся с помощью рекуррентных соотношений, известных как фильтр Калмана . предложен алгоритм субоптимальной фильтрации для измерительных систем с матрицей измерений вида (24). Оценка состояния опорного элемента на момент tj в этом алгоритме находится из соотношения

(26)

где - вес i-го прогноза ,

- дисперсия прогноза i – ой составляющей вектора состояния,

- прогноз i – ой составляющей вектора Y, полученный на предыдущем такте обработки данных.

Вектор Zв выражении (9) дополнен фиктивной составляющей z1 = y1 – y1 = 0 , поэтому размерности векторов Zи совпадают.

Альтернативный алгоритм основан на использовании МНК – оценок, вычисленных с помощью псевдообратной матрицы.

Псевдообратная матрица в нашем случае вычисляется по формуле

А+ = АT (AAT) -1 и имеет вид

 

 

При этом оценка вектора состояния находится по формуле (27)

(27)

Или, в развернутом виде,

, k = 2,3,…, n (28)

Очевидно, что МНК- оценка опорного элемента на k-м шаге совпадает со средним значениям результатов измерений.

Т.о. имеем два класса алгоритмов вычисления вектора состояния недоопределенных систем:

- алгоритм среднего арифметического – МНК – оценки;

- алгоритм, опирающийся на использовании прогнозирующих моделейю

 

Раздел 2. Прогнозирующие модели и их построение по эмпирическим данным

Основные операторы

Для описания моделей АРПСС используются следующие операторы:

· Оператор сдвига назад В определяется как

(29)

· Оператор сдвига вперед F

(30)

· Разностный оператор со сдвигом назад

(31)

 

· Оператор суммирования

(32)

 

2.1.2 “Белый шум”

 

Временные ряды, в которых последовательные значения сильно зависимы, целесообразно рассматривать как генерируемые последовательностью незави­симых импульсов . Эти импульсы – реализации случайных некоррелирован­ных величин с фиксированным распределением, которое обычно предполагает­ся нормальным с нулевым средним значением и дисперсией . Такая после­довательность случайных величин называется в технической ли­тературе «белым шумом».

 

Лабораторная работа 2

Построение динамических стохастических моделей (моделей авторегрессии - скользящего среднего АРСС) по эмпирическим временным рядам.(Интерактивное обучение -150 минут)

Лабораторная работа № 3

Тема 1.1 Алгоритмы метода Гаусса

Пусть дана система из n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

(1)

Решением системы (1) называется упорядоченное множество чисел ξ, если подстановка превращает уравнения (1) в равенства .

Общая схема метода Гаусса для систем, имеющих единственное решение

Пусть . (В противном случае в качестве первого уравнения возьмем какое-либо другое). Разделим первое уравнение на .

Получим

, (2)

где ; ,

Умножим разрешающее уравнение (2) на и вычтем полученное уравнение из второго уравнения системы (1). Аналогично преобразуем остальные уравнения. Система примет вид

(3)

где

Если какой-либо из коэффициентов окажется равным нулю, то j-ое уравнение системы (1) войдет в систему (3) без изменений т.е.

(То есть если в какой-либо из уравнений отсутствовала переменная , то уравнение не преобразуется). Теперь, оставив без изменения первое уравнение системы (5), сделаем разрешающим второе уравнение и применим описанную процедуру к системе из n-1 уравнений, исключая из оставшихся уравнений. Получим систему

 

где

Продолжая аналогичные вычисления, приведем систему (1) к эквивалентной системе с треугольной матрицей коэффициентов

(4)

Прямой ход решения выполнен.

Обратный ход:

a) последовательно исключаем неизвестное , начиная с уравнения и заканчивая первым. Получаем

(5)

Затем исключаем неизвестное из уравнений с номером j

и т.д.

В результате получаем решение системы.

Алгоритм Гаусса относится к классу «точных алгоритмов», поскольку можно определить число шагов, необходимых для решения системы линейных уравнений: 2n -1 шаг. Однако числа – приближенные, в силу чего решение задачи также приближенное, а, стало бытьЮ содержит погрешность. При делении на малые помодулю числа погрешность резко возрастает. Для уменьшения этой погрешности применяются модифицированные алгоритмы Гаусса:

- алгоритмы с поиском максимального по модулю элемента по столбцам;

- алгоритмы с поиском максимального по модулю элемента по всей матрице коэффициентов.

При выполнении процедуры прямого хода возможны следующие случаи:

1. матрица А приводится к треугольной (получаю решение).

2. число преобразованных уравнений системы меньше числа неизвестных (ранг матрицы А< n) – Это происходит, если в системе получаются в процессе преобразований тождества 0=0. Система имеет бесконечное множество решений.

3. все коэффициенты при неизвестных в каком-либо уравнении равны нулю, свободный член отличен от нуля. Система не имеет решения.

В случае 3) решение системы может быть найдено приближенно с использованием статистических методов (метод наименьших квадратов (МНК), минимизируюший сумму квадратов «невязок»). МНК широко применяется при обработке измерительной информации.

Случай 2) соответствует недоопределенным системам (системам с неполной матрицей наблюдений), когда число уравнений меньше числа неизвестных. Этот случай весьма часто встречается при анализе технических систем и заслуживает особого рассмотрения.

Задача обработки данных, получаемых в различных технических системах, сводится к нахождению оценок параметров системы, представляющих интерес для исследователя, по имеющимся результатам наблюдений. Пусть

- вектор параметров (будем называть его вектором состояния системы) в момент tj. Z = [z1, z2, …zn]T - вектор наблюдений, зависящий от вектора Y, т.е.

(6)

В общем случае зависимость Zот Y – нелинейная, и размерности векторов Zи Yне совпадают. Существуют технические системы, в которых результаты наблюдений являются линейными функциями вектора состояния. Для нелинейных систем зачастую можно применить процедуру линеаризации. При этом уравнение (6) принимает вид

,(7)

где А – матрица наблюдений.

При равной размерности векторов Zи Y(m = n) и ранге матрицы А , равном n , имеет единственное решение

(8)

где A-1– обратная матрица.

Чаще всего имеет место неравенство n > m, т.е. число наблюдений больше числа оцениваемых параметров. В этом случае система линейных уравнений (7) может оказаться несовместной. На самом деле эта несовместность – кажущаяся, т.к. в уравнениях (6) и (7) не учтены погрешности наблюдений – вектор ε , имеющий размерность n. Оценки метода наименьших квадратов – МНК – оценки, минимизирующие сумму квадратов « невязок »εi

(9)

находятся из уравнения [1]

(10)

Если ранг матрицы А меньше n , обратной матрицы не существует. В таком случае МНК – оценка вектора Y находится с помощью псевдообратной матрицы А+ [2]

(11)

Системы с подобной матрицей – неполной матрицей наблюдений – называют недоопределенными. К таким системам относятся измерительные системы групповых эталонов физических величин, например, эталонов времени и частоты

 



Последнее изменение этой страницы: 2016-06-10

headinsider.info. Все права принадлежат авторам данных материалов.