Главная

Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Обработка ведется на одной машине круглые сутки.


5x1 + x2 <= 86400 - ограничение 1)

Изделия хранятся на складе 24 часа до отправки клиентам. Объем склада 1000 м3. Объем изделий 0,02 м3 для P1 и 0,03 м3 для P2.

0,02x1 + 0,03x2 <= 1000 - ограничение 2)


II Элементы векторной алгебры

Рассмотрим систему уравнений

(1)

(первое уравнение - характеристика снабжения, связывающая количество поставляемого товара Q с ценой P? второе - характеристика спроса)

P, Q - совместно определяемые переменные.

Решение:

(Q = 2.0, P=3.0)

В координатах (Q, P) решение представлено точкой (2, 3)

Направленный отрезок - вектор из точки O в точку (2, 3) обозначим х =

Компоненты вектора.

Вектор-столбец х = , вектор строка х' = х = , " ' " или "Т" - операция транспонирования.

Геометрически вектор-столбец и вектор-строка - эквивалентны. Нулевой вектор задает начало координат О' = . Любая точка пространства может быть задана линейной комбинацией двух единичных векторов I'1 = и I'2 = (I1 и I2 - два возможных базиса в данной системе координат)

Пример: Точка (2, 3) = 2 +3 =2I1 + 3I2

2. Операции над векторами

2.1 Умножение вектора на скаляр (действительное число)

A =

При умножении длина вектора увеличивается в k раз (если k отрицательно - меняется направление вектора)

2.2 Сложение векторов - складываются их соответствующие компоненты.

Пусть А = , B = А+В =

Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты.

2.3 Линейная независимость векторов

Векторы X и Y линейно-независимы, если не существует скаляров k1 и k2 таких, что

k1X + k2Y = 0,

при условии, что k1 и k2 не равны нулю.

Пример: I1 и I2 - линейно-независимы, т.к равенство

k1 + k2 = выполняется только при k1 = 0 и k2 = 0.

Векторы и - линейно-зависимы

k1 + k2 = 0; k1 k2

Выбираем любое k1, пусть =1. Тогда

k2 , т.е. ; k2 =

Переходя от 2-х мерных векторов к n-мерным, получаем

2.4 Произведение векторов

а) скалярное произведение

А'В = =

Пусть А = , В = А'В =

А'В = B'A

Скалярное произведение двух векторов - это сумма произведений соответствующих компонент этих векторов.

А'A =

||A|| - Длина вектора равна корню квадратному из скалярного произведения вектора самого на себя.

||A|| = = =

т.к ; А' = ; А'A =

б) Пусть q - угол между векторами A и B. Проекция вектора А на В имеет длину

Можно показать, что

А'В =

Отсюда - второе определение скалярного произведения.

Скалярным произведением векторов А и В называется произведение их длин (модулей) на косинус угла между ними.

Результат скалярного произведения - скаляр.

Если два вектора перпендикулярны (ортогональны) один другому, то их скалярное произведение равно нулю.

Все ортогональные векторы линейно-независимы (Обратное не всегда верно!)

Пример:

А' = В' =

Множество ортогональных векторов называется ортонормированным, если каждый вектор имеет единичную длину.

Пример1: I'1 = и I'2 =

Пример2: P'1 = и Р'2 =

в) переход от одной координатной системы к другой

Пусть заданы векторы I'1, I'2, P'1, Р'2 и вектор Х

Х =

Имеем две координатные системы I'1, I'2 и P'1, Р'2.

Относительно системы I1, I2 можно записать:

X = = x1I1+x2I2 = 1/2 +1/4

Аналогично запишем отношение P1 Р2

Х = Y1P1+Y2P2 (*)

Требуется найти значение Y1, Y2 в координатах P1, P2.

Умножаем (*) на P'1

ХP'1 = Y1P'1P1+Y2P'1P2

т.к. P'1P1 =1; P'1P2 =0 - векторы ортонормированы

Получаем P'1Х = Y1

Аналогично, умножив (*) на Р'2, получим P'2Х = Y2

Итак, получаем

Y1 = P'1Х = =

Y2 = =

Таким образом можно переходить от одной координатной системы к другой.

Х = Y1 P1 + Y2 P2 = + =

Т.е. можно Х представить как Х = + =

либо как Х= x1I1+x2I2

Х = Y1 P1 + Y2 P2

Угол между P1 и I1 можно найти из определения скалярного произведения векторов А'В =

В нашем случае

Преобразование координат очень важно для упрощения описания функций.

Например, в системе координат I1I2 формула элемента, расположенного под углом к оси Х, содержит произведение XY (помимо членов Х2, Y2). Поворотом осей можно избавиться от члена XY.

II Операции над матрицами

Вектор - упорядоченный набор чисел.

Матрица - упорядоченный набор векторов.

- матрица, размера (n x m) - n-строк, m-столбцов.

Матрица может состоять из векторов, записанных по строкам, либо по столбцам.



Последнее изменение этой страницы: 2016-06-10

headinsider.info. Все права принадлежат авторам данных материалов.