Главная

Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Каждое алгебраическое дополнение Cij - определитель порядка n-1, который также может быть разложен и т.д.


Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен 0.

III.2 Ранг

Рангом матрицы (любой, в том числе и неквадратной) называется порядок наибольшего отличного от нуля определителя, который можно вычислить по данной матрице.

Пример 1.

А = |А|=0 Удалив 2-ую строку и 3-ий столбец, получим: = -6 R = 2 (ранг = 2)

В данном примере столбцы линейно-зависимы

k1 + k2 = 0

При k1=1; k2=-2; k3=1

(Действительно, получаем 3 уравнения с 3-мя неизвестными:

разрешив эту систему, получим k1=k3= -0,5k2

Множество решений. Одно из них k1=1; k2=-2; k3=1).

Пример 2.

А = имеет ранг <=3, матрица [3х4].

Таким образом ранг матрицы равен максимальному числу линейно-независимых векторов (строк или столбцов).

Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей.

III.3 Матрица алгебраических дополнений (cof A) - это матрица, элементы которой являются алгебраическими дополнениями исходной матрицы.

Пусть А = ; cof A = cof

Сij = (-1)i+jMij

C11=(-1)2M11=M11=2

C12=(-1)3M12= -M12=44 и т.д.

т.е cof A =

Присоединенной матрицей (adj A) называется транспонированная матрица алгебраических дополнений

adj A = (cof A)' =

III.4 Обратная матрица

Обратная матрица равна присоединенной матрице, умноженной на число, обратное определителю исходной матрицы.

А-1 =

В нашем случае:

А-1 = = (*)

Выводы:

1. Если |A| равен нулю, обратная матрица не существует .

2. Если |A| близок к нулю, матрица почти вырождена, или плохо обусловлена. Вычисление обратной матрицы затруднено.

Для диагональной матрицы обратной матрицей также будет диагональная матрица с элементами, равными .

III.4 Обращение матриц при помощи разбиения

Разобьем матрицу А следующим образом:

А = Aij - подматрицы матрицы А.

Тогда А-1 можно представить в виде (**)

А-1 = ,

где Q =

В нашем примере А =

=2; Q= =

= - см. левую часть матрицы (*)!

(При размерности Q>2 можно вновь использовать формулу (**)

)

и т.д.

IV Исследование и решение систем линейных уравнений методом последовательного исключения (метод Жордана-Гаусса)

Любую систему линейных уравнений удобно представить в матричной записи.

Систему

Можно записать в виде

AX = b,

где А = (aij); X= ; b=

Если марица А - квадратная и неособенная, то вектор решения находится как

Х = А-1b

Существует простая вычислительная схема для получения решения и (или) обратной матрицы - метод полного исключения Жордана-Гаусса. Решение находится за m итераций.

Рассмотрим метод на примере.

Имеем систему:

(1)

Здесь A = - матрица неособенная. Систему (1) можно записать в виде:

В векторном виде, полагая P1= P2=

P3= P0=

Получим

P1х1+ P2х2+ P3х3= P0 (2)

Т.к А - неособенная матрица, то система векторов P1, P2, P3 линейно-независимо и, следовательно, образует базис в трехмерном пространстве.

Базисом пространства называется такая система векторов, что произвольный вектор пространства выражается единственным образом в виде линейной комбинации этих векторов.

Действительно, любой другой вектор, пусть Р4, может быть найден единственным образом через векторы P1, P2, P3, т.е. Р4= P1 y1+ P2y2+P3y3, или, что то же самое

Р4 = АY, где Y - вектор коэффициентов

Вектор Y находится как

Y= А-1Р4

Таким образом, задавая любой вектор Р4 в 3-х мерном пространстве, можно найти его разложение по базису.

Случай, когда вектор может быть выражен линейной комбинацией векторов, число которых меньше его размерности, называется вырожденным.

Решить систему (2), значит найти коэффициенты x1, x2, x3 разложения вектора Р0 по базису P1, P2, P3.

Процесс решения состоит в последовательном исключении первой, второй, третьей и т.д. переменных из всех уравнений, кроме первого, второго и т.д. соответственно.

Для системы (1) первый шаг состоит в исключении х1 из всех уравений, кроме первого.

Шаг 1.

а) Первое уравнение умножаем на 2 и складываем со вторым.

б) Первое уравнение умножаем на -1, складываем с третьим.

Получаем:

Шаг 2. Исключаем х2 из всех уравнений, кроме второго. Уравнения должны быть расположены таким образом, чтобы коэффициент при х2 во втором уравнении не был равен нулю. В начале итерации удобно сделать коэффициент при исключаемой переменной равным 1. Для этого делим второе уравнение на 3. Коэффициент 3 - направляющий элемент. (в шаге 1 направляющий элемент а11=1)

Умножая преобразованное второе уравнение:

на -1 и складывая его с первым, получим

Шаг 3. Теперь направляющий элемент 2. Поделив на 2 третье уравнение, полученное после шага 2, и умножив результат на и , сложим полученные уравнения с 1-ым и 2-ым соответственно. Получим:

- это решение системы (1)



Последнее изменение этой страницы: 2016-06-10

headinsider.info. Все права принадлежат авторам данных материалов.