Главная

Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Замечательное неравенство Коши.


ВВЕДЕНИЕ

 

Наша жизнь полна различных вычислений. Овладение конкретными математическими знаниями помогает в практической деятельности, формирует представление о математике как о части человеческой культуры. Русский математик XIX века Чебышев говорил, что “особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды”. Приведу несколько примеров экстремальных задач, так называемые задачи оптимизации.
Среди них:
— транспортная задача о составлении оптимального способа перевозок грузов;
— задача о диете, то есть о составлении наиболее экономного рациона питания, удовлетворяющего определенным медицинским требованиям;
— задача составления оптимального плана производства;
— задача рационального использования посевных площадей и т.д.

А вот три более конкретных примера:

Задача 1.Фрагмент рассказа Л.Н. Толстого «Много ли человеку земли нужно» о крестьянине Пахоме, покупавшем землю у башкир.

- А цена какая будет? – говорит Пахом.

- Цена у нас одна: 1000 рублей за день.

Не понял Пахом.

- Какая же это мера – день? Сколько в ней десятин будет?

- Мы этого, – говорит, - не умеем считать. А мы за день продаем; сколько обойдешь за день, то твое, а цена 1000 рублей.

Удивился Пахом.

- Да ведь это, - говорит, - в день обойти земли много будет.

Засмеялся старшина.

- Вся твоя, - говорит. – Только один уговор: если назад не придешь в день к тому месту, с какого возьмешься, пропали твои деньги. У классика всё закончилось печально. А мы можем рассмотреть здесь следующую модель.

Допустим фигура, которая получилась у Пахома, изображена на рисунке.

Обежал он за день, например, прямоугольную трапецию периметром 40 км. С площадью S = 78 км².

Наибольшую ли площадь при этом получил бы Пахом (с учетом того, что участки обычно имеют форму четырёхугольника)?

Задача2 . Рекламный щит имеет форму прямоугольника S=9 м2. Какие размеры будет иметь щит в виде прямоугольника с наименьшим периметром.

Задача 3. Требуется огородить прямоугольный участок земли площадью 294 м² и разделить этот земельный участок забором на 2 равные части. При каких линейных размерах участка длина всего забора окажется минимальной? (14 м, 21 м).

Цель: рассмотрение методов решения задач на оптимизацию без применения производной.

Задачи:

 

1. Изучить литературу и выявить методы решения задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения функций без применения производной.

2. Рассмотреть методы решения задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения функций без применения производной для квадратичной функции, с использованием свойств монотонных функций, для задач с геометрическим содержанием и применяя стандартные неравенства.

3. Обобщить и представить полученный результат.

 

Методы исследования: анализ научной, учебной литературы; сравнение и анализ результатов; их систематизация; метод аналогии.

 

 

Историческая справка

 

История сохранила легенду о самой древней экстремальной задаче, известной как задача Дидоны. Финикийская царевна Дидона (IX век до н.э.) решила организовать поселение на берегу понравившегося ей залива в Северной Африке. Она уговорила вождя местного племени отдать ей клочок земли, который можно охватить воловьей шкурой. Воины Дидоны разрезали шкуру на тонкие полоски, и Дидона охватила ремнем, составленным из этих полосок, участок земли на берегу залива. Так возник город Карфаген. Задача Дидоны состоит в указании формы границы участка, имеющей заданную длину, при которой площадь участка максимальна. Если знать экстремальное свойство круга, то решение получается немедленно: граница участка представляет часть окружности, имеющей заданную длину. Экстремальными задачами занимались многие античные ученые (Евклид, Архимед, Аристотель и др.).

Первое замечательное открытие в области теории экстремальных значений величин относится к первому столетию нашей эры.

Александрийский ученый Герон установил, что путь светового луча от точки А до точки В при отражении от зеркала МК в точке С является кратчайшим (минимальным) расстоянием.


Дальнейшим развитием теории экстремальных значений величин следует считать решение треугольника Шварца( Немецкий математик Герман Шварц (1843-1921)).

Задача заключалась в том, чтобы в остроугольный треугольник вписать треугольник с минимальным периметром. Таким треугольником называется так называемый высотный треугольникА1В1С1, вершинами которого являются основания высот данного треугольника АВС.

Опираясь на задачу Герона, если предположить что стороны треугольника АВС «зеркальные», то высотный треугольник будет единственным треугольным контуром пути световых лучей .

Обобщение этой задачи нашло большое практическое приложение в динамике и оптике.

В начале 19 века немецкий геометр Якоб Штейнер доказал два метода решения экстремальных задач.
Первый – синтетический, т.е. с помощью частных приемов, второй метод с помощью дифференциального исчисления.

Примером первого метода может служить решение проблемы минимизации общей протяженности дорог, связывающих несколько пунктов.В более корректной математической постановке проблема Штейнера формулируется следующим образом:

 

Определения основных понятий

· Функция f (x) называется монотонно возрастающей на отрезке [a; b],если для любых точек x1 и x2 этого отрезка выполняется следующее:

x1 < x2f (x1) < f (x2).

· Функция f (x) называется монотонно убывающей на отрезке [a; b], если для любых точек x1 и x2 этого отрезка выполняется следующее:

x1 < x2f (x1) > f (x2).

Средним арифметическим действительных чисел называют действительное число

 

Средним геометрическим действительных неотрицательных чисел называют такое действительное неотрицательное число .

Можно выделить большой класс задач, для решения которых достаточно знать и уметь применять сравнительно несложные неравенства. К числу таких неравенств относится, прежде всего, неравенство Коши: среднее арифметическое двух положительных чисел a и b не меньше их среднего геометрического: . Наряду с неравенством Коши полезно знать следствия из него:

В неравенствах равенство достигается, если a = b. Эти неравенства эквивалентны друг другу при , .

Заключение

Обычно экстремальные задачи или задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции решаются с помощью производной. Но в этом учебном году программа изучения математики в 10 классе изменилась и нам приходится решать данные задачи без знания производной функции. Эта проблема и подтолкнула к рассмотрению темы данной работы. Данная работа имеет большое значение, с одной стороны, как для математики, так и для её приложений, а с другой стороны, помогает развивать геометрические представления, формировать необходимые умения и навыки для решения экстремальных задач. Изучая литературу по теме моей работы, я столкнулся ещё с одной интересной задачей:

Задача. Молодой предприниматель Юрий Михайлов в свете экономического кризиса решил выкупить нерентабельное провинциальное перерабатывающее предприятие и пригласил экономиста Германа Ковалевича помочь с расчетами по оптимизации расходов. Одна из задач поставленных перед Германом была следующая: найти, при каких условиях расход жести на изготовление консервных банок цилиндрической формы заданной емкости будет наименьшим.

Оказывается, наименьший расход жести на изготовление консервных банок цилиндрической формы заданной емкости будет достигнут при условии, что диаметр основания и высота банки равны между собой.

В нашей стране выпускаются ежегодно сотни миллионов банок консервов в жестяной упаковке. Экономия 1% жести на изготовление каждой банки позволит за счет сэкономленного материала дополнительно изготовить несколько миллионов новых банок. Вместе с тем промышленность нередко выпускает консервы в жестяной таре, не обеспечивая наименьший расход материала на изготовление банки. Это обусловлено рядом причин: стремлением минимизации отходов при изготовлении банок, соображениями торговой эстетики. Возможностями транспортировки и т.д.

Для того, чтобы составить математическую модель этой задачи и решить её необходимы знания производной функции и формула вычисления объёма цилиндра. Возможно, целесообразно будет в следующем году исследовать вопрос: « Решение задач на оптимизацию с применением производной».

 

 

Литература

 

1. Кузнецова Е. П. и др. Математика: учебник для 10 класса. – Мн.: Народная асвета, 2013.-287 с.

2. Беляева Э.С., Монахов В.М.. Экстремальные задачи. М.1977.-59 c.

3. Натансон И.П. Простейшие задачи на максимум и минимум. М.1951.-87 c.

4. Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А.П.Савин.- М.: Педагогика, 1989.-352с.

 

 

Рецензия

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Наша жизнь полна различных вычислений. Овладение конкретными математическими знаниями помогает в практической деятельности, формирует представление о математике как о части человеческой культуры. Русский математик XIX века Чебышев говорил, что “особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды”. Приведу несколько примеров экстремальных задач, так называемые задачи оптимизации.
Среди них:
— транспортная задача о составлении оптимального способа перевозок грузов;
— задача о диете, то есть о составлении наиболее экономного рациона питания, удовлетворяющего определенным медицинским требованиям;
— задача составления оптимального плана производства;
— задача рационального использования посевных площадей и т.д.

А вот три более конкретных примера:

Задача 1.Фрагмент рассказа Л.Н. Толстого «Много ли человеку земли нужно» о крестьянине Пахоме, покупавшем землю у башкир.

- А цена какая будет? – говорит Пахом.

- Цена у нас одна: 1000 рублей за день.

Не понял Пахом.

- Какая же это мера – день? Сколько в ней десятин будет?

- Мы этого, – говорит, - не умеем считать. А мы за день продаем; сколько обойдешь за день, то твое, а цена 1000 рублей.

Удивился Пахом.

- Да ведь это, - говорит, - в день обойти земли много будет.

Засмеялся старшина.

- Вся твоя, - говорит. – Только один уговор: если назад не придешь в день к тому месту, с какого возьмешься, пропали твои деньги. У классика всё закончилось печально. А мы можем рассмотреть здесь следующую модель.

Допустим фигура, которая получилась у Пахома, изображена на рисунке.

Обежал он за день, например, прямоугольную трапецию периметром 40 км. С площадью S = 78 км².

Наибольшую ли площадь при этом получил бы Пахом (с учетом того, что участки обычно имеют форму четырёхугольника)?

Задача2 . Рекламный щит имеет форму прямоугольника S=9 м2. Какие размеры будет иметь щит в виде прямоугольника с наименьшим периметром.

Задача 3. Требуется огородить прямоугольный участок земли площадью 294 м² и разделить этот земельный участок забором на 2 равные части. При каких линейных размерах участка длина всего забора окажется минимальной? (14 м, 21 м).

Цель: рассмотрение методов решения задач на оптимизацию без применения производной.

Задачи:

 

1. Изучить литературу и выявить методы решения задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения функций без применения производной.

2. Рассмотреть методы решения задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения функций без применения производной для квадратичной функции, с использованием свойств монотонных функций, для задач с геометрическим содержанием и применяя стандартные неравенства.

3. Обобщить и представить полученный результат.

 

Методы исследования: анализ научной, учебной литературы; сравнение и анализ результатов; их систематизация; метод аналогии.

 

 

Историческая справка

 

История сохранила легенду о самой древней экстремальной задаче, известной как задача Дидоны. Финикийская царевна Дидона (IX век до н.э.) решила организовать поселение на берегу понравившегося ей залива в Северной Африке. Она уговорила вождя местного племени отдать ей клочок земли, который можно охватить воловьей шкурой. Воины Дидоны разрезали шкуру на тонкие полоски, и Дидона охватила ремнем, составленным из этих полосок, участок земли на берегу залива. Так возник город Карфаген. Задача Дидоны состоит в указании формы границы участка, имеющей заданную длину, при которой площадь участка максимальна. Если знать экстремальное свойство круга, то решение получается немедленно: граница участка представляет часть окружности, имеющей заданную длину. Экстремальными задачами занимались многие античные ученые (Евклид, Архимед, Аристотель и др.).

Первое замечательное открытие в области теории экстремальных значений величин относится к первому столетию нашей эры.

Александрийский ученый Герон установил, что путь светового луча от точки А до точки В при отражении от зеркала МК в точке С является кратчайшим (минимальным) расстоянием.


Дальнейшим развитием теории экстремальных значений величин следует считать решение треугольника Шварца( Немецкий математик Герман Шварц (1843-1921)).

Задача заключалась в том, чтобы в остроугольный треугольник вписать треугольник с минимальным периметром. Таким треугольником называется так называемый высотный треугольникА1В1С1, вершинами которого являются основания высот данного треугольника АВС.

Опираясь на задачу Герона, если предположить что стороны треугольника АВС «зеркальные», то высотный треугольник будет единственным треугольным контуром пути световых лучей .

Обобщение этой задачи нашло большое практическое приложение в динамике и оптике.

В начале 19 века немецкий геометр Якоб Штейнер доказал два метода решения экстремальных задач.
Первый – синтетический, т.е. с помощью частных приемов, второй метод с помощью дифференциального исчисления.

Примером первого метода может служить решение проблемы минимизации общей протяженности дорог, связывающих несколько пунктов.В более корректной математической постановке проблема Штейнера формулируется следующим образом:

 

Определения основных понятий

· Функция f (x) называется монотонно возрастающей на отрезке [a; b],если для любых точек x1 и x2 этого отрезка выполняется следующее:

x1 < x2f (x1) < f (x2).

· Функция f (x) называется монотонно убывающей на отрезке [a; b], если для любых точек x1 и x2 этого отрезка выполняется следующее:

x1 < x2f (x1) > f (x2).

Средним арифметическим действительных чисел называют действительное число

 

Средним геометрическим действительных неотрицательных чисел называют такое действительное неотрицательное число .

Можно выделить большой класс задач, для решения которых достаточно знать и уметь применять сравнительно несложные неравенства. К числу таких неравенств относится, прежде всего, неравенство Коши: среднее арифметическое двух положительных чисел a и b не меньше их среднего геометрического: . Наряду с неравенством Коши полезно знать следствия из него:

В неравенствах равенство достигается, если a = b. Эти неравенства эквивалентны друг другу при , .

Замечательное неравенство Коши.

Это знаменитое неравенство принадлежит французскому математику О.Коши, которое было опубликовано в 1821 году.

Теорема. Для неотрицательных чисел справедливо неравенство Коши

.



Последнее изменение этой страницы: 2016-06-10

headinsider.info. Все права принадлежат авторам данных материалов.