Главная

Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Переменные и постоянные величины.


 

Теперь следует вернуться к вопросу обоснования строгости исчисления бесконечно малых. Мы уже заметили, что Лейбниц считает величины равными, когда их разница, хотя и не равная строго нулю, всё же является несравнимой по отношению к самим величинам; иными словами, бесконечно малые величины, хотя и не представляют собой nihila absoluta (абсолютно ничто), тем не менее представляют собой nihila respectiva (относительное ничто), и относительно обычных величин ими следует пренебрегать. К сожалению, понятие "несравнимости" слишком расплывчато, чтобы довод, основанный на таком понятии, был достаточным для полного обоснования строгого характера исчисления бесконечно малых; с этой точки зрения исчисление бесконечно малых представляется скорее методом неопределённого приближения, и мы не можем вместе с Лейбницем сказать, что "как только это прояснено, следует не только, что погрешность бесконечно мала, но и что она вовсе ничтожна"1; но не существует ли более строгих средств прийти к такому заключению? Следует по меньшей мере признать, что погрешность, возникающая в вычислениях, может быть сведена к сколь угодно малой, что уже представляет собой кое-что; но устраняет ли именно этот бесконечно малый характер погрешности эту погрешность полностью, если рассматривать не только ход вычислений, но и их конечные результаты?

 

1 Отрывок, датированный 26 марта 1676 года.

 

Бесконечно малая разница, то есть неопределённо убывающая разница может быть разницей только между двумя переменными величинами, ибо очевидно, что разница между двумя постоянными величинами может быть только постоянной величиной; поэтому бессмысленно говорить о бесконечно малой разнице между двумя постоянными величинами. Следовательно, можно сказать, что две постоянные величины "строго равны в тот момент, когда их предполагаемая разница может считаться сколь угодно малой"2; в то же время, "исчисление бесконечно малых, как и всякое обычное исчисление, собственно рассматривает только постоянные и находимые величины"3; коротко говоря, оно вводит переменные величины только в качестве вспомогательных, имеющих исключительно преходящий характер, и эти переменные должны устраняться из результатов, которые должны выражать только отношения между постоянными величинами. Таким образом, для получения этих результатов следует перейти от рассмотрения переменных величин к рассмотрению постоянных величин; и этот переход своим результатом имеет как раз устранение бесконечно малых величин, которые по своей сущности являются переменными, и которые могут выступать только как разницы между переменными величинами.

 

2 Карно, Réflexions sur la Métaphysique du Calcul infinitésimal, с. 29.

3 Ш. Фрейсине, De l'Analyse infinitésimale, предисловие, с. viii.

 

Теперь нетрудно уяснить, почему в приведённом ранее отрывке Карно настаивал на том, что бесконечно малые величины, при оперировании ими в исчислении, могут быть заданы сколь угодно малыми "без необходимости по этой причине изменять значения тех величин, с которыми они сравниваются". Это возможно, потому что эти последние должны фактически быть постоянными величинами; верно, что в исчислении они рассматриваются как пределы переменных величин, но переменные играют роль простых вспомогательных средств, как и возникающие вместе с ними бесконечно малые величины. Суть обоснования строгого характера исчисления бесконечно малых состоит в том, что в результатах должны фигурировать только постоянные величины; поэтому в рамках исчисления в конечном итоге необходимо перейти от переменных величин к постоянным величинам – и это действительно "переход к пределу", но не как у Лейбница, поскольку не существует окончательного значения или "конечного члена" варьирования; итак – и это крайне важно – при этом переходе устраняются переменные величины и устраняются просто путём подстановки постоянных величин вместо переменных величин4.

 

4 Ср.: Ш. Фрейсине, там же, с. 220: "Уравнения, которые Карно называл "несовершенными", являются, собственно говоря, незавершёнными уравнениями или уравнениями перехода, которые являются строгими в той мере, в какой служат только для вычисления пределов; напротив, они будут абсолютно неверны, если не будут находиться их пределы. Чтобы избежать сомнений относительно значений проходимых отношений, достаточно помнить о действительном предназначении вычислений. В случае каждого отношения следует рассматривать не то, что оно пытается выражать в настоящий момент, а то, что оно будет выражать позже, после того, как будут найдены его пределы".

 

Но следует ли рассматривать устранение переменных величин всего лишь как результат простого "уравнивания погрешностей", как у Карно? Мы считаем, что нет. И, кажется, что действительно в этом вопросе можно усмотреть больший смысл, если провести различие между переменными и постоянными величинами и отнести их как бы к двум отдельным областям, между которыми, несомненно, существует некоторое соотношение и аналогия (что, вместе с тем, необходимо для обеспечения возможности перехода между ними, каким бы образом такой переход ни осуществлялся) – но учитывая, что их фактические отношения никогда не устанавливают какого-либо рода взаимопроникновение или тем более непрерывность; кроме того, это означает, что между этими двумя видами величин существует принципиально качественное различие – в полном согласии со сказанным ранее по поводу понятия предела. Лейбниц так и не провёл этого чёткого различия, и этому, несомненно, мешала его концепция универсальной континуальности; он был неспособен увидеть, что "предельный переход" в принципе подразумевает дискретность, по той причине что он не признавал дискретность. Однако, именно одно это различие позволяет нам сформулировать следующее утверждение: если разница между двумя переменными величинами может быть сведена к сколь угодно малой, то постоянные величины, соответствующие этим переменным и рассматриваемые как их пределы, являются строго равными. Таким образом, бесконечно малая разница никогда не может стать нулевой; но такая разница может существовать только между переменными, а между соответствующими постоянными величинами разница действительно должна быть нулевой; из этого непосредственно следует, что погрешности, которая может быть сведена к сколь угодно малой, в области переменных величин (в которой, собственно, не может быть и речи о чём-то большем, нежели неопределённое приближение, именно по причине самого характера этих величин) с необходимостью соответствует погрешность, являющаяся нулевой, в области постоянных величин. Истинное обоснование строгости исчисления бесконечно малых заключается, в принципе, единственно в этом соображении, а не в каких-либо иных, которые, что бы они из себя ни представляли, всегда являются более или менее частными по отношению к сути вопроса.

 


Глава 19.



Последнее изменение этой страницы: 2016-06-10

headinsider.info. Все права принадлежат авторам данных материалов.