Главная

Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Аналитическая неисчерпаемость неопределённого.


 

В двух только что рассмотренных случаях, то есть случаях неопределённого возрастания и неопределённого убывания, величина некоторого уровня может рассматриваться как сумма неопределённого количества элементов, каждый из которых представляет собой бесконечно малую величину относительно всей суммы. Вместе с тем, чтобы говорить о бесконечно малых величинах, необходимо рассматривать величины, которые ненаходимы по отношению к их сумме, а так обстоит дело, когда сумма является неопределённой по отношению к рассматриваемым элементам; это непосредственно следует из сущностной природы неопределённости, поскольку неопределённость с очевидностью подразумевает идею "становления", как мы уже указывали ранее, и, следовательно, некоторую ненаходимость. Естественно, само собой разумеется, что эта ненаходимость может быть только относительной и существует только с определённой точки зрения или относительно чего-то иного: например, некоторая сумма является обычной величиной и, следовательно, не является неопределённой сама по себе, но только относительно своих бесконечно малых составляющих; во всяком случае, если пойти иным путём и не вводить наше понятие ненаходимости, следовало бы вернуться к понятию "несравнимых", понимаемых в грубом смысле сопоставления песчинки с землей, а земли с небосводом.

Рассматриваемая нами сумма никоим образом не может быть получена по способу арифметической суммы, поскольку для этого было бы необходимо произвести неопределённый ряд последовательных сложений, что заключает в себе противоречие; в случае, когда сумма представляет собой обычную находимую величину, очевидно, необходимо (как мы уже замечали, когда излагали определение интегрального исчисления), чтобы число, или скорее множество, элементов неопределённо возрастало, в то время как их величина неопределённо убывает, и в этом смысле неопределённость элементов множества поистине неисчерпаема. Но если сумма не может быть получена таким образом, в качестве окончательного результата множества отдельных последовательных операций, она, с другой стороны, может быть схвачена разом, посредством одной операции – интегрирования1; это операция обратная дифференцированию, поскольку она вопроизводит сумму, идя от её бесконечно малых элементов, в то время как дифференцирование наоборот идёт от суммы к составляющим элементам, делая возможным нахождение формулы мгновенных изменений заданной в выражении величины.

 

1 Устоявшиеся термины "интеграл" и "интегрирование" принадлежат не Лейбницу, а Иоганну Бернулли; вместо них Лейбниц употреблял только слова "сумма" и "суммирование" – недостаток этих терминов в том, что они могут подразумевать аналогию между рассматриваемой операцией и составлением арифметической суммы; мы говорим "могут подразумевать", поскольку достаточно очевидно, что существенная разница между этими операциями не могла быть неясной Лейбницу.

 

Таким образом, во всех случаях рассмотрения неопределённости понятие арифметической суммы неприменимо, и мы обращаемся к понятию интегрирования, чтобы восполнить невозможность "счёта" бесконечно малых элементов – невозможность, которая, конечно, следует из самой природы этих элементов, а не из недостатков наших средств измерения. Попутно можно заметить, что в приложении к геометрическим величинам (каковое приложение, в конечном итоге, представляет собой собственно предназначение исчисления бесконечно малых) этот метод измерений абсолютно отличается от обычного метода, основанного на делении величины на конечные отрезки, который мы упоминали ранее, когда говорили о "единицах измерения". Этот последний метод сводится, коротко говоря, к замене континуального дискретным посредством "разрезания" суммы на отдельные отрезки, равные величине того же вида, взятой в качестве единицы измерения2, и использованию итогового числа непосредственно для измерения континуальных величин, что в действительности не может быть произведено без изменения природы континуальных величин и её, так сказать, приспособления к природе числа. Другой указанный нами метод, напротив, с максимальным уважением относится к истинному характеру континуального, рассматривая его как некоторую сумму элементов, которые являются постоянными и находимыми, но которые в принципе переменны и в силу своей переменности способны становиться меньше любой определимой величины; тем самым этот метод позволяет задавать пространственные величины между краями этих элементов сколь угодно малыми и поэтому представляет собой наименее ущербное из всех возможных представлений континуального варьирования, поскольку он учитывает природу числа, которая неизменна ни при каких обстоятельствах.

 

2 Или дроби этой величины, что не столь важно, поскольку дробь в таком случае будет составлять вторичную, меньшую единицу, которая будет заменять первую в случаях, когда деление на первую величину с точностью не выполнимо, и для получения точного (или, по крайней мере, более точного) результата используются дроби.

 

Эти наблюдения позволят яснее понять, в каком смысле можно говорить о том, что (как мы отмечали в начале данной главы) пределы неопределённого никогда не могут быть достигнуты посредством какой-либо аналитической процедуры или, иными словами, что неопределённое, не будучи абсолютно и во всех отношениях неисчерпаемым, всё же является неисчерпаемым, по крайней мере, аналитически. В этом смысле, аналитическими следует считать те процедуры, которые для воссоздания целого берут его элементы раздельно и последовательно; так происходит при составлении арифметической суммы, и именно в этом отношении она принципиально отличается от интегрального исчисления. Это особенно интересно с нашей точки зрения, ибо в этом соображении можно усмотреть, в качестве весьма ясного примера, истинное взаимоотношение между анализом и синтезом: вопреки распространённому мнению, согласно которому анализ является как бы подготовкой к синтезу или какой-то предварительной его стадией, такой, что всегда нужно начинать с анализа, даже если он не является непосредственной целью, – истина заключается в том, что никогда невозможно прийти к синтезу посредством анализа. Всякий синтез, в истинном смысле этого слова, является, так сказать, непосредственным, не предваряется анализом и абсолютно независим от него*, так же как интегрирование представляет собой операцию, выполняемую разом, ни в коей мере не предполагающую рассмотрение составляющих элементов, как в случае арифметического суммирования; и поскольку это арифметическое суммирование не может дать средств схватывания и исчерпывания неопределённого, неопределённое должно в каждой своей области представлять нечто, что по самой своей природе противится анализу и может быть познано только через синтез3.

 

* О значении синтетических заключений для метафизики см. напр.: Э. Корет, указ. соч., разд. 1.2.6.3. (прим. перев.)

 

3 Здесь и по ходу дальнейшего изложения следует принять во внимание, что мы употребляем термины "анализ" и "синтез" в их истинном изначальном смысле, который следует отделять от совершенно отличного и в значительной мере некорректного смысла, в котором нередко говорят о "математическом анализе", в согласии с которым само интегрирование, несмотря на его принципиально синтетический характер, считается частью "анализа бесконечно малых"; именно по этой причине мы предпочитаем избегать этого выражения, употребляя только выражения "исчисление бесконечно малых" и "метод бесконечно малых", которые не имеют подобной двусмысленности.

 


Глава 22.



Последнее изменение этой страницы: 2016-06-10

headinsider.info. Все права принадлежат авторам данных материалов.