Главная

Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Синтетический характер интегрирования.


 

В противоположность порядку составления арифметической суммы, который, как мы заметили, является строго аналитическим по своему характеру, интегрирование должно рассматриваться как принципиально синтетическая операция, то есть операция, которая одновременно схватывает каждый элемент искомой суммы, сохраняя тот характер "неразличимости", который свойственен частям континуального, поскольку по самой природе континуальности эти части не могут представлять собой нечто постоянное и находимое. Вместе с тем, этот характер "неразличимости" также должен сохраняться при вычислении суммы дискретных элементов неопределённой последовательности, хотя и по несколько иной причине, ибо, хотя величина каждого из этих элементов рассматривается как находимая, таковым не является общее число элементов, и даже можно более точно сказать, что их множество превосходит всякое число; тем не менее в некоторых случаях сумма элементов такой последовательности стремится к некоторому определённому пределу, даже когда их множество неопределённо возрастает. Хотя такие формулировки могут показаться с первого взгляда несколько необычными, можно сказать, что такая дискретная последовательность является неопределённой "по экстраполяции", в то время как непрерывное множество является неопределённым "по интерполяции"; этим подразумевается, что если взять некоторый отрезок дискретной последовательности, ограниченный двумя любыми её членами, такой отрезок никоим образом не будет неопределённым, поскольку он находим и измерим как в целом, так и в отношении своих элементов; неопределённость последовательности заключается в том, что она простирается за пределы этого отрезка, никогда не достигая конечного члена; напротив, неопределённость непрерывного множества, измеримого как непрерывное, заключается как раз внутри него, поскольку его элементы не находимы, и поскольку оно не имеет конечных членов (ибо континуальное всегда делимо); в этом смысле, оба этих случая как бы обратны друг другу. Суммирование неопределённой числовой последовательности никогда не завершится, если брать каждый член один за другим, поскольку не существует конечного члена, посредством которого последовательность могла бы завершиться; такое суммирование возможно только в случае, когда некоторая синтетическая процедура позволяет как бы разом схватить неопределённость, рассматриваемую в её целостности, что вовсе не подразумевает раздельное рассмотрение её элементов, что к тому же невозможно, в силу самого того факта, что они составляют неопределённое множество. И, подобным образом, когда некоторая неопределённая последовательность неявно дана в формуле её образования, как в случае последовательности целых чисел, можно сказать, что она дана полностью синтетическим образом и не может быть дана иным образом; в самом деле, задать такую последовательность аналитически означало бы задать каждый член по отдельности, что невозможно.

Поэтому при рассмотрении некоторого заданного примера неопределённости, будь то непрерывное множество или дискретная последовательность, в любом случае для достижения её границ необходимо прибегнуть к синтетической операции; пошаговое продвижение непригодно и никогда не может привести к цели, ибо такое продвижение может достичь конечного члена только при том двойном условии, что как этот член, так и число шагов, необходимых для его достижения, находимы. Поэтому мы не сказали, что границы неопределённого вовсе не могут быть достигнуты (что было бы неправомерно, учитывая, что эти границы действительно существуют), но сказали только, что они не могут быть достигнуты аналитически: неопределённое не может быть исчерпано пошагово, но оно может быть объято в его целостности посредством некоторых трансцендентных операций, классическим примером которых на уровне математики является интегрирование. Можно указать, что постепенное продвижение здесь в точности соответствует варьированию величины – в случае дискретной последовательности в прямом смысле, а в случае проистекающего из неё непрерывного варьирования, так сказать, в той степени, в которой позволяет дискретная природа числа; с другой стороны, синтетические операции мгновенно выводят нас за пределы области варьирования, что с необходимостью требуется (как указанно нами ранее) для действительного осуществления "предельного перехода"; иными словами, анализ относится только к переменным, взятым как раз в ходе их варьирования, в то время как только синтез способен достигать их пределов – таким образом, только синтез способен давать окончательные и поистине значимые результаты, поскольку, для того чтобы говорить о результатах, очевидно, необходимо достичь чего-то, относящегося исключительно к постоянным и находимым величинам.

Более того, конечно же можно обнаружить аналогичные синтетические операции в других областях помимо области количества, ибо идея неопределённого развёртывания возможностей, очевидно, применима и к другим областям, нежели количество, например, к некоторому состоянию проявленного существования и условиям любого характера, которым подвержено это состояние, рассмотренным по отношению как к космическому целому, так и к одному конкретному существу; то есть при рассмотрении как с "макрокосмической", так и с "микрокосмической" точки зрения1. Можно сказать, что в этом случае "предельный переход" соответствует окончательной фиксации результатов проявления на уровне принципов; в самом деле, только посредством этого существо в конечном итоге избавляется от того изменения или "становления", которое с необходимостью присуще всякому проявлению как таковому; и, таким образом, можно видеть, что эта фиксация никоим образом не является "конечным членом" развёртывания проявления, но скорее, что она в принципе расположена вне и над развёртыванием, поскольку принадлежит другому уровню реальности, трансцендентному по отношению к проявлению и "становлению"; в этом отношении, различие между уровнем проявления и уровнем принципов, таким образом, аналогически соответствует различию, установленному нами между переменными и постоянными величинами*. Более того, если рассматривать постоянные величины, очевидно, что в них не может быть внесено никакого видоизменения посредством какой бы то ни было операции и что, следовательно, "предельный переход" не может произвести ничего в этой области; и, равным образом, поскольку уровень принципов является незыблемым, достижение его не представляет собой "осуществление" чего-либо не существовавшего ранее, но скорее осуществлённое уяснение, неизменным и абсолютным образом, того, что есть**. С учётом предмета настоящего исследования мы, конечно, должны главным образом более подробно рассмотреть относящееся собственно к области количества, в которой, как мы видели, идея развёртывания возможностей претворяется в понятии варьирования, существующего в направлении как возрастания, так и убывания; но и этих немногочисленных примеров достаточно, чтобы показать, что при соответствующем аналогическом переложении всё это может получить несравненно больший смысл, чем при поверхностном рассмотрении, поскольку интегрирование и другие операции того же рода будут посредством такого переложения поистине выступать в качестве символов самой метафизической "реализации".

 

1 По поводу этого аналогического применения понятия интегрирования, ср.: Символизм креста, гл. 18 и 20.

 

* Здесь Геноном обозначен один из основных метафизических вопросов – сущности и явления. Из христианских атомистов, много внимания противоположности сущности и явления уделял Николай из Отрекура (см.: В.П. Зубов. Николай из Отрекура и древнегреческие атомисты. // Труды Института истории естествознания и техники АН СССР. т. 10, 1956); кардинально разводили сущность и явление богомилы (катары), Уиклиф, а также другие окказионалисты. В излагаемой Геноном оптике "уровень проявления" и "уровень принципов" должны соответствовать "Яви" и "Прави" в реконструкциях русского языческого традиционализма (см.: Ю.П. Миролюбов. Сакральное Руси. Москва, 1996). (прим. перев.)

** Ср. Э. Корет: "…метафизика – в отличие от эмпирических наук – вовсе не стремится сообщать или доказывать нечто совершенно новое, чего мы не знали бы уже прежде. Она должна обнаруживать то, что уже было "знакомо" [bekannt], но еще не было отчетливо "познано" [erkannt]. Речь идет о само собой разумеющемся, понятном из самого себя, но тем не менее неправильно понимаемом и требующем тщательного истолкования". (Указ. соч., разд. 1.2.6.1). (прим. перев.)

 

Вышеприведённые соображения позволяют увидеть всю глубину разницы между традиционной наукой, допускающей такие соображения, и профанной наукой модерна; и в этой связи мы сделаем ещё одно замечание по поводу различия аналитического и синтетического знания. Безусловно, профанная наука является в принципе исключительно аналитической; она никогда не переходит к рассмотрению принципов, вместо этого окунаясь с головой в детали явления, неопределённое и неопределённо изменяющееся множество которых для неё поистине неисчерпаемо, и, таким образом, ни при каких условиях не способна достичь некоего реального или окончательного результата в плане знания; она рассматривает только сами явления, то есть внешние проявления, и неспособна постичь суть вещей, за что Лейбниц упрекал картезианский механицизм. Вместе с тем, это один из мотивов, привлекаемых для объяснения современного "агностицизма", ибо, поскольку некоторые реалии могут быть познаны только синтетически, всякий, кто руководствуется исключительно анализом, таким образом, вынужден признать такие реалии "непознаваемыми", поскольку в этом отношении они действительно таковы – в точности так происходит и с теми, кто, придерживаясь аналитического способа рассмотрения неопределённого, считает его неопределённость абсолютно неисчерпаемой, в то время как в действительности она неисчерпаема только аналитически. В то же время, синтетическое знание можно назвать принципиально "всеохватывающим" знанием – таково, например, знание непрерывного множества или неопределённой последовательности, элементы которой не являются и не могут быть чётко заданными; но, помимо того факта, что в конечном итоге имеет значение именно только это знание, всегда можно – поскольку всё содержится в своём принципе – снизойти от него к рассмотрению каких угодно частностей; так, например, если некоторая неопределённая последовательность синтетическим образом дана в знании формулы её образования, в каждом конкретном случае всегда можно вычислить любой из её частных членов, в то время как напротив, если в качестве отправной точки брать эти же самые частные члены сами по себе во всех их неопределённых частностях, никак невозможно перейти к уровню принципов; и, как мы упоминали в начале данной книги, именно в этом смысле метод и точка зрения традиционной науки как бы противоположны методу профанной науки, как синтез противоположен анализу*. Вместе с тем, это только частное приложение той очевидной истины, что хотя "меньшее" может быть выведено из "большего", "большее" никак не может быть выведено из "меньшего"; тем не менее именно о таких стремлениях заявляет наука модерна с её механицистскими и материалистическими концепциями и исключительно количественной точкой зрения; но именно в силу невозможности этого такая наука в действительности не способна дать подлинного объяснения вообще чего бы то ни было2.

 

* О недостаточности аналитических суждений см. напр.: Э. Корет, указ. соч., разд. 1.2.6.3. (прим. перев.)

 

2 В связи с этим последним замечанием снова отсылаем к нашим соображениям, изложенным в книге Царство количества и знамения времени.

 

 


Глава 23.

Апории Зенона Элейского.

 

Только что изложенные соображения косвенно содержат решение всех проблем такого рода, как те, которые были подняты Зеноном Элейским в его знаменитых апориях против возможности движения или скорее в его соображениях, которые считаются апориями при рассмотрении их только в привычном изложении; на самом деле, можно вполне усомниться в том, что это был их истинный смысл. Действительно, достаточно маловероятно, что Зенон в самом деле намеревался отрицать движение; более вероятно, что он только хотел доказать несовместимость идеи движения с гипотезой, распространённой, прежде всего, у атомистов, о существовании в природе вещей реальной неразложимой множественности. Поэтому, вероятно, именно против этой идеи множественности в таком понимании были обращены его аргументы*; мы не говорим "против идеи множественности вообще", ибо множественность, безусловно, существует на свойственном ей уровне, как существует и движение, которое, вместе с тем, (как и всякий род изменения) с необходимостью подразумевает множественность. Но как движение, в силу своего характера мимолётного и преходящего изменения, не является самодостаточным и было бы абсолютно иллюзорным, не будь оно привязано к высшему трансцендентному ему принципу (как "недвижимый перводвигатель" Аристотеля), так и множественность не могла бы существовать, если бы могла сводиться к самой себе и не проистекала бы из единства, что математически выражается в образовании последовательности чисел, как мы уже показали. Более того, предположение о существовании неразложимой множественности неизбежно исключает всякие реальные связи между составными частями всех вещей и, следовательно, также всякую континуальность (непрерывность), ибо последняя представляет собой только частный случай или особую форму таких связей**. Как мы уже отмечали, атомизм с необходимостью подразумевает дискретность всех вещей; в конечном счёте, идея движения несовместима с этой дискретностью***, и мы увидим, что именно это показано в апориях Зенона Элейского.

 

* Апории Зенона были направлены как против дискретного, так и против континуального понимания множественности (см.: Дж. Уитроу, указ. соч., с. 175). (прим. перев.)

** Полноценный метафизический атомизм не отрицает связи между вещами и явлениями, а отрицает её природный характер, считая непосредственным и единственным источником этой связи исключительно Бога, Который осуществляет эту связь в проявлении Своей воли непосредственно в отношении каждой вещи и явления. Ярким примером такой метафизической картины является атомизм калама, игнорирование которого Геноном удивительно. (прим. перев.)

*** Дискретная онтология вовсе не подразумевает отсутствие движения (т.е. изменений), а только описывает движение в своеобразных терминах изотахии, кекинемы и реновации (см.: А.Н. Вяльцев, указ. соч., с. 14-59). Аргументы Зенона показывают несовместимость идеи движения с континуальностью и с "математическим" атомизмом, т.е. с дискретностью в математическом "точечном" смысле, из чего проистекает большая логическая приемлемость дискретных представлений о движении (см.: Дж. Уитроу, указ. соч., с. 196-197). (прим. перев.)

 

Например, рассмотрим следующую апорию: движущийся объект никогда не сможет переместиться из одного положения в другое, поскольку между двумя положениями всегда существует бесконечное множество других положений (какими бы близкими они ни были), которые нужно последовательно пройти в ходе движения, и, какое бы время ни было затрачено на их прохождение, эта бесконечность никогда не может быть исчерпана*. Конечно, здесь речь не о бесконечности, как обычно выражаются, ибо это слово не может здесь иметь реального значения; но также неверно и то, что на каждом интервале можно брать неопределённое количество положений для движущегося объекта, поскольку они не могут быть исчерпаны аналитически, что подразумевало бы занятие каждого положения по очереди, как по очереди берутся члены дискретной последовательности. Но ошибочным здесь является само представление о движении, ибо оно сводится, коротко говоря, к рассмотрению континуального как составленного из точек или из конечных, неделимых элементов (как в представлении о составленности тела из атомов); и это равнозначно утверждению, что в действительности не существует континуальности (непрерывности), ибо рассматривать ли точки или атомы, эти конечные элементы могут быть только дискретными; кроме того, несомненно то, что без континуальности не было бы возможно движение, и это всё, что данная апория действительно доказывает**. То же самое касается апории о стреле, которая летит и тем не менее покоится***, поскольку в каждое мгновение можно видеть только отдельное её положение, что равнозначно утверждению, что каждое положение можно считать постоянным и определённым, и что последовательные положения, таким образом, образуют нечто вроде дискретной группы. Также следует заметить, что неверно, что движущийся объект всегда может быть виден как занимающий определённое положение; напротив, если движение достаточно быстрое, объект не будет виден отчётливо, а будет виден только след его непрерывного перемещения; так, например, если быстро вращается горящая головня, будет видна не сама головня, а огненный круг****; вместе с тем, неважно, объяснять ли это стойкостью зрительного восприятия, как объясняют физиологи, или иным способом, ибо не менее очевидно, что в таких случаях непрерывность движения схватывается как бы непосредственно и ощутимым образом. Более того, употреблять выражение "в каждое мгновение" при формулировке таких аргументов значит подразумевать, что время сложено из последовательности неделимых моментов, каждому из которых соответствует определённое положение объекта; но в действительности непрерывность времени состоит из мгновений не в большей степени, чем непрерывность пространства из точек, а, как мы уже указывали, возможность движения предполагает единство или, скорее, сочетание как временной, так и пространственной непрерывности.

 

* Речь, очевидно, об апории о несуществовании множественных "мест". См.: А.В. Смирнов. Соизмеримы ли основания рациональности в разных философских традициях? (Сравнительное исследование зеноновских апорий и учений раннего калама). // Сравнительная философия. Москва: Изд. фирма "Вост. лит-ра" РАН, 2000. (//Вопросы философии. 1999, №3). (прим. перев.)

** Генон, по сути, отказывается от рассмотрения апории, вместо этого априори постулируя континуальность и уравнивая её с движением, что, по сути, равнозначно выбрасыванию из проблемы понятия предела – в то время как понятие предела было центральным в апориях Зенона (см.: Дж. Уитроу, указ. соч., с. 187). К тому же сам Генон в конце данной главы признаёт, что его "континуальное" движение невозможно, а признание границ (начала и конца) движения говорит о недостаточности "континуальности" для объяснения движения.

Схожим образом – путём априорного постулирования движения – Зенона критиковал Аристотель, однако ему не удалось окончательно разрешить апории Зенона. Проблемы, поднятые Зеноном, гораздо глубже поверхностного толкования Генона и затрагивают, прежде всего, схоластическую проблему "forma fluens" и "fluxus formae" (см.: В.П. Зубов, указ. соч., с. 144 и след.; Дж. Уитроу, указ. соч., с. 180-181), т.е. проблему собственно дефиниции движения, связанную с критерием наблюдаемости и вопросом истинности или обманчивости чувственных данных. Довод Генона (вывод о "реальности" непрерывности на основе априорного постулирования движения) абсолютно неубедителен, как показывают хотя бы приведённые далее примеры с оптическими иллюзиями, которые (как и многие похожие примеры) неустанно приводили финитисты во все времена. (прим. перев.)

*** Речь об апории "Стрела" (см.: Прерывное и непрерывное, с. 16; Дж. Уитроу, указ. соч., с. 177-180).

**** Этот пример Уиклиф использовал для доказательства иллюзорности континуума, вызванной обманчивыми чувственными восприятиями (см.: В.П. Зубов, указ. соч., с. 104). Способ объяснения таких явлений как раз фундаментально важен, ибо от него зависит, считать ли данные чувств адекватно отражающими реальность (как у континуалистов) или иллюзорными (как у финитистов). См.: там же, с. 93-94, 103-104; Прерывное и непрерывное, с. 33-36. (прим. перев.)

 

 

Также в одной из апорий утверждается, что для преодоления заданного расстояния сначала необходимо преодолеть половину этого расстояния, затем половину оставшейся половины, затем половину этого остатка и так далее неопределённое время1, так что придётся столкнуться с неопределённостью, которая, при таком рассмотрении, является поистине неисчерпаемой*. Другая похожая апория заключается в следующем: если предполагать, что два человека разделены некоторым расстоянием, тогда один из них, перемещаясь быстрее другого, никогда не сможет нагнать другого, ибо, когда он достигает того положения, в котором находился второй, тот будет находиться в другом положении, удалённом от первого на расстояние, меньше изначального; когда первый достигает этого положения, другой находится уже в третьем положении, удалённого от второго на ещё меньшее расстояние, и так далее неопределённое время, так что, несмотря на уменьшение расстояния между ними, оно всё же никогда не станет нулевым. Сущность проблемы этих двух апорий, как и предыдущей, в том, что они предполагают, что для достижения некоторого конечного пункта должны быть раздельно и последовательно пройдены все промежуточные положения. Можно прийти к одному из следующих заключений: либо рассматриваемое движение действительно является непрерывным и поэтому не может быть разбито таким образом, поскольку континуальное не имеет неразложимых элементов; либо движение составлено или, по крайней мере, может считаться составленным из дискретной последовательности интервалов, каждый из которых имеет определённую величину, как в случае шагов идущего человека2, в случае чего допущение этих интервалов будет, очевидно, исключать необходимость прохождения всех различных промежуточных положений, которые не нужно будет проходить столь многими отдельными шагами. Кроме того, в первом случае, который представляет собой случай непрерывного варьирования, конечный пункт, который по определению подразумевается постоянным, не может быть достигнут в пределах самого варьирования, и тот факт, что он в действительности достигается, требует введения понятия качественной разнородности, которая на этот раз действительно представляет собой подлинную дискретность и которая представлена здесь в переходе от состояния движения к состоянию покоя; это ведёт нас к вопросу "предельного перехода", истинный смысл которого ещё необходимо прояснить.

 

1 Это соответствует последовательным членам неопределённого ряда 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 2, который Лейбниц использовал в качестве примера в одном из приведённых выше отрывков.

 

* Речь об апориях "Дихотомия" и (далее) "Ахиллес" (см.: Прерывное и непрерывное, с. 16; Дж. Уитроу, указ. соч., с. 185-197). (прим. перев.)

 

2 В действительности движения, составляющие процесс его ходьбы, на самом деле непрерывны, как и всякие другие движения, а прерывную последовательность образуют только точки его касания с землёй, так что шаги отмечают определённые интервалы, на которые может быть разбито преодолённое расстояние, при том что не происходит касания земли в промежуточных точках.


Глава 24.

Истинное понимание "предельного перехода".

 

Рассмотрение "предельного перехода", как мы отмечали ранее, необходимо если не для практических целей метода бесконечно малых, то, по крайней мере, для его теоретического обоснования, и именно это обоснование интересует нас в рамках настоящего исследования, поскольку обычные практические правила вычислений, возникающие как бы "эмпирическим" путём без понимания их причин и основ, очевидно, не имеют никакого интереса с нашей точки зрения. Несомненно, для завершения вычислений и даже для доведения их до конца нет необходимости рассматривать вопрос, достигает ли переменная своего предела или как она его достигает; тем не менее если она не достигает своего предела, такое исчисление будет только обычным методом приближений. Правда, здесь имеет место неопределённое приближение, поскольку сама природа бесконечно малых величин позволяет свести погрешность к сколь угодно малой – однако же без полного её устранения, поскольку, несмотря на неопределённое убывание, эти бесконечно малые величины никогда не обращаются в ничто. Пожалуй, можно сказать, что с практической точки зрения такой метод равнозначен совершенно строгому исчислению; но, помимо того что не это нас интересует, такая точка зрения не даёт ответа на вопрос: имеет ли смысл само понятие неопределённого приближения, если в плане искомых результатов рассматриваются не переменные, а постоянные и находимые величины? При таких условиях при рассмотрении результатов предстаёт следующая альтернатива: либо предел не достигается, и тогда исчисление бесконечно малых является всего лишь наименее грубым из методов приближения; либо предел достигается, и тогда рассматриваемый метод является действительно строгим. Но мы уже видели, что предел, по самому его определению, не может быть достигнут переменной; как же тогда можно говорить, что он тем не менее достигается? Это может быть строго осуществлено не в ходе вычислений, а в результатах вычислений, поскольку в них должны фигурировать только постоянные и находимые величины, как сам предел – но не переменные; следовательно, единственным подлинным обоснованием строгости исчисления бесконечно малых является, как мы уже указывали, различие между переменными и постоянными величинами, являющееся сугубо качественным различием.

Итак, повторим снова: предел не может быть достигнут в рамках некоторого варьирования и в качестве члена этого варьирования; он не является конечным значением, которое принимает переменная, и сама идея непрерывного варьирования, заканчивающегося неким "конечным значением" или "конечным состоянием", была бы такой же невразумительной и противоречивой, как и идея неопределённой последовательности, заканчивающейся неким "конечным членом", или идея деления континуума, заканчивающегося "конечными элементами". Поэтому предел не является частью ряда последовательных значений переменной, но находится вне этого ряда, и поэтому, как мы сказали, "переход к пределу" в принципе подразумевает некоторую дискретность. Если бы это было не так, мы столкнулись бы с неопределённостью, которая могла бы быть исчерпана аналитически, а это невозможно. Здесь установленное нами ранее в этом отношении различие приобретает свой полный смысл, ибо это один из тех случаев, в которых рассматривается возможность достижения пределов некоторой данной неопределённой последовательности (согласно употреблённому нами ранее выражению); поэтому то же самое слово "предел", не без оснований, появляется снова, но в другом, более узком смысле, в конкретном случае, который мы сейчас рассмотрим. Предел переменной должен поистине ограничивать, в общем смысле этого слова, неопределённость состояний или возможных изменений, заключающихся в определении данной переменной; и именно по этой причине он с необходимостью должен находиться вне того, что он ограничивает. Не может быть речи об исчерпывании этой неопределённости в ходе собственно варьирования, составляющего эту неопределённость; в действительности, это вопрос выхода за пределы области этой переменности, не содержащей собственный предел, и этот результат достигается не аналитически и пошагово, но синтетически и разом, как бы "внезапным" образом, и соответствует дискретности перехода от переменным к постоянным величинам1.

 

1 Этот "внезапный" или "мгновенный" характер можно сравнить (используя аналогию с природными явлениями) с приведённым выше примером разрыва верёвки: сам разрыв представляет собой предел, а именно предел растяжения, но он никоим образом не сравним с растяжением, какова бы ни была степень растяжения.

 

Пределы в принципе принадлежат области постоянных величин; поэтому "переход к пределу" логически требует одновременного рассмотрения двух различных и как бы наложенных друг на друга модальностей, существующих внутри количества; он представляет собой не что иное, как переход в высшую модальность, в которой то, что в низшей модальности существует в состоянии простой тенденции, полностью реализуется; используя терминологию Аристотеля, это переход от потенциальности к актуальности* – что, несомненно, не имеет ничего общего с простым "уравниванием погрешностей", о котором говорил Карно. Математическое понятие предела по самому своему определению подразумевает характер стабильности и равновесия, которым обладают неизменные и определённые объекты, и которым, очевидно, не могут обладать величины, рассматриваемые как находящиеся в низшей из этих двух модальностей, величины в принципе переменные; поэтому предел никогда не может быть достигнут постепенно, но только непосредственно переходом из одной модальности в другую, и только такой переход позволяет миновать все промежуточные стадии, поскольку он синтетически включает в себя и объемлет всю их неопределённость; таким образом то, что было и могло быть исключительно тенденцией в рамках переменной, утверждается и фиксируется в реальном определённом результате. В ином случае понятие "перехода к пределу" всегда будет представлять собой только чистейшую нелогичность, ибо очевидно, что при нахождении внутри области переменных, невозможно обрести постоянство, присущее пределам, поскольку величина, ранее рассматривавшаяся как переменная, должна как раз утратить свой преходящий и контингентный характер. Состояние переменных величин, в самом деле, представляет собой в высшей степени преходящее и как бы несовершенное состояние, поскольку оно является только выражением "становления", как обстоит дело (как мы показали) и с сущностью самого понятия неопределённости, которое, вместе с тем, тесно связано с состоянием переменности. Таким образом, вычисления будут только тогда совершенными или поистине завершёнными, когда они дают результаты, в которых нет ничего переменного или неопределённого, но есть только постоянные и находимые величины; и мы уже показали, как это соображение может быть применено, посредством аналогического переложения, к областям, находящимся за пределами количественного порядка, – в которых он будет иметь не более чем символическое значение – и даже к областям, прямо касающимся метафизической "реализации" существа.

 

* Схема Генона скорее обнаруживает сходство с каламитской и суфийской концепцией "выявления скрытого", которая, в отличие от аристотелевской концепции потенциальности и актуальности, имеет отношение к познанию, а не к бытию (см.: А.В. Смирнов. Явное. // Новая философская энциклопедия. т. 4. Москва, 2010). (прим. перев.)

 


Заключение.

Излишне подчёркивать ту важность, которую соображения, изложенные на страницах данного исследования, имеют с чисто математической точки зрения, поскольку они содержат решение всех проблем, возникающих в связи с методом бесконечно малых, как в отношении его смысла, так и его строгости. Необходимым и достаточным условием для нахождения такого решения является не что иное, как строгое применение истинных метафизических принципов, но именно относительно этих принципов современные математики, как и все иные профанные учёные, пребывают в полнейшем неведении. В конечном итоге, именно это игнорирование принципов является единственной причиной столь многих дебатов, которые при таких обстоятельствах могут вестись неопределённо долго и так и не прийти к какому-либо серьёзному результату, но только напротив ещё более запутывать проблему и множить недоразумения, наглядным примером чему служит спор между "финитистами" и "инфинитистами". Тем не менее все такие дебаты прекратились бы весьма быстро, если бы прежде всего было ясно изложено истинное понятие метафизического Бесконечного и фундаментальное различие между Бесконечным и неопределённым. По этому пункту сам Лейбниц (которому, в отличие от учёных позднейшего времени, можно поставить в заслугу хотя бы искренность при рассмотрении конкретных вопросов) слишком часто позволял себе высказывания, которые едва ли можно отнести к метафизическому уровню и которые даже иногда были такими же явно анти-метафизическими, как и заурядные умопостроения наиболее модернистских философов; таким образом, опять-таки именно то самое отсутствие принципиального основания не позволяло ему дать должный ответ его противникам удовлетворительным и как бы окончательным образом, что открыло путь всем последующим дискуссиям. Определённо, можно вместе с Карно сказать, что "если у Лейбница можно усмотреть ошибки, то единственно в том плане, что он вызывал сомнения относительно точности своего анализа в той мере, в какой эти сомнения имелись у него самого"1; но даже если таких сомнений не было, Лейбниц тем не менее был неспособен со всей строгостью продемонстрировать точность своего метода, поскольку его концепция континуальности, которая, несомненно, не является ни метафизической, ни логичной, не позволяла ему произвести необходимые различия и, соответственно, сформулировать точное понятие предела, которое, как мы уже показали, имеет первостепенную значимость для обоснования метода бесконечно малых.

Из всего этого можно видеть, какое значение внимание к метафизическим принципам может иметь даже для некоторой специализированной науки, взятой самой по себе, даже если мы не намереваемся в целях обоснования этой науки выходить за пределы той относительной и контингентной области, непосредственно к которой эти принципы применяются. Конечно же, это остаётся полностью непонятным современным учёным, которые охотно хвалятся тем, что с помощью своей профанной концепции науки они сделали науку независимой от метафизики, а также от богословия2, в то время как на самом деле они тем самым только лишили науку всякой реальной ценности в плане знания. Вместе с тем, если наступает осознание необходимости снова соединить науку с областью метафизических принципов, само собой разумеется, нет оснований останавливаться на этом, и весьма естественно произойдёт возвращение к той традиционной концепции, согласно с которой некоторая частная наука, что бы она собой ни представляла, сама по себе имеет меньшее значение, чем возможность использования её в качестве "вспомогательного средства" для перехода к знанию более высокого порядка3. Наше намерение в рамках данной работы состояло в том, чтобы дать в порядке наглядного примера некоторое представление о том, что возможно сделать, по крайней мере, в некоторых случаях, для возвращения науке, искалеченной и искажённой профаническими концепциями, её истинного значения и объёма, как с точки зрения относительного знания, представляемого ею непосредственно, так и с точки зрения высшего знания, к которому она может вести путём аналогического переложения. В этом последнем отношении мы имели возможность уяснить, в особенности, что может быть извлечено из таких понятий, как интегрирование и "предельный переход". Вместе с тем, следует отметить, что математика в большей степени, чем какая-либо наука, предлагает особенно пригодный символизм для выражения метафизических истин, в той степени, в какой они выразимы, что известно читателям, знакомыми с некоторыми другими нашими работами. Поэтому математический символизм так часто используется, как в общем с традиционной точки зрения, так и в частности с инициатической точки зрения4. Но конечно, само собой разумеется, что для достижения указанных целей прежде всего необходимо очистить нау<



Последнее изменение этой страницы: 2016-06-10

headinsider.info. Все права принадлежат авторам данных материалов.