Главная

Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Арифметический квадратный корень


Арифметическая прогрессия

Последовательность, у которой задан первый член a1, а каждый следующий равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называется арифметической прогрессией:

an+1 = an + d, где d – разность прогрессии.

an = a1 + d(n – 1) an = ak + d(n – k)
2an = an-1 + an+1 an + am = ak + al, если n + m = k + l

Геометрическая прогрессия

Определение: Последовательность, у которой задан первый член b1 ¹ 0, а каждый следующий равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q ¹ 0, называется геометрической прогрессией:

bn+1 = bn q, где q – знаменатель прогрессии.

bn = b1 qn – 1 bn = bk qn – k
bn2 = bn-1 bn+1 bn bm = bk bl, если n + m = k + l
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Степень

Определение

, если n – натуральное число

a – основание степени, n - показатель степени

Формулы

Арифметический квадратный корень

Определение

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a - ( ) - называется неотрицательное число, квадрат которого равен a.

Корнем k–ой степени из a (k - нечетное) называется число, k-ая степень которого равна a.

Квадратное уравнение:

ax2 + bx + c = 0

 

Дискриминант: D = b2 – 4ac

       
   


Теорема Виета

Приведенное квадратное уравнение: x2 + px + q = 0

x1 + x2 = - p

x1 × x2 = q

x1+x2 = -b/a

x1× x2 = c/a

Логарифм

Определение

Логарифмом числа по b основанию a называется такое число, обозначаемое , что .

a - основание логарифма (a > 0, a ¹ 1),

b - логарифмическое число ( b > 0)

Десятичный логарифм:

Натуральный логарифм: где e = 2,71828

Формулы

Дроби

Сложение

Деление с остатком:

  Признак Пример
На 2 Числа, оканчивающиеся нулём или четной цифрой …….6
На 4 Числа, у которых две последние цифры нули или выражают число, делящееся на 4. ……12
На 8 Числа, у которых три последние цифры нули или выражают число, делящееся на 8. …..104
На 3 Числа, сумма цифр которых делится на 3.
На 9 Числа, сумма цифр которых делится на 9.
На 5 Числа, оканчивающиеся нулём или цифрой 5. …….5
На 25 Числа, у которых две последние цифры нули или выражают число, делящееся на 25. ……75
На 10 Числа, оканчивающиеся нулём. ……0

Формуладеления с остатком: n = m×k + r, где n – делимое, m - делитель, k - частное, r – остаток: 0 £ r < m   Пример: Любое число можно представить в виде: n = 2k + r, где r = {0; 1} или n = 4k + r, где r = {0; 1; 2; 3}  

Вычитание

Умножение

Деление

Составная дробь

Делимость натуральных чисел:

Пусть n : m = k, где n, m, k – натуральные числа.

Тогда mделитель числа n, а nкратно числу m.

Число n называется простым, если его делителями являются

только единица и само число n.

Множество простых чисел: {2; 3; 5; 7; 11; 13; . . .; 41; 43; 47 и т.д.}

Числа n и m называются взаимно простыми, если у них нет общихделителей, кроме единицы.

Десятичные числа:

Стандартный вид: 317,3 = 3,173× 102 ; 0,00003173 = 3,173× 10-5

Форма записи: 3173 = 3× 1000 + 1× 100 + 7× 10 + 3

Модуль

Формулы Определение

· ½x½ ³ 0

· ½x - y½ ³ ½x½ - ½y½

· ½-x½=½x½

· ½x × y½ = ½x½ × ½y½

· ½x½ ³ x

· ½x : y½ =½x½ : ½y½

· ½x + y½ £ ½x½ + ½y½

½x½2 = x2

Неравенства

Определения:

Неравенством называется выражение вида:

a < b (a £ b), a > b (a ³ b)

Основные свойства:

Модуль: уравнения и неравенства

1.

2.

3.

4.

5.

Периодическая дробь

Правило:

Признаки делимости чисел:

Проценты

Определение:

Процентом называется сотая часть от числа. 1%A = 0,01A

Основные типы задач на проценты:

Сколько процентов составляет число A от числа B?

B - 100%

A - x%

Сложные проценты.

Число A увеличилось на 20%, а затем полученное число уменьшили на 25%.

Как, в итоге, изменилось исходное число?

1) A1 = (100% + 20%)A = 120%A = 1,2A

2) A2 = (100% - 25%)A1=75%A1 = 0,75A1 = 0,75×1,2A = 0,9A = 90%A

3) A1 – A = 90%A – 100%A = -10%A

Þ Ответ: уменьшилось на 10%. Изменение величины.

Как изменится время, если скорость движения увеличится на 25%?

Þ Ответ: уменьшится на 20%

 

Þ Ответ: уменьшится на 20%

Среднее арифметическое, геометрическое

Среднее арифметическое:

Среднее геометрическое:

Уравнение движения

Пусть - уравнение движения материальной точки, где S – путь, t – время движения.

Тогда: ,

где – скорость, - ускорение.

Определенный интеграл

Первообразная элементарных функций

f(x) F(x)   f(x) F(x)  
   
 
 
 
 
   

Тригонометрия

Основные триг. формулы

Þ

Þ

Формулы суммы функций

Формулы суммы аргументов:

Формулы произведения функций

Формулы половинного аргумента

Формулы двойного аргумента

Формула дополнительного угла

где

Определение тригонометрических функций

 

Универсальная подстановка

Тригонометрические уравнения

Косинус:

Уравнения с синусом

Частные формулы:

Общая формула:

Формулы обратных триг функций

Если 0 < x £ 1, то arccos(-x) = p - arccosx arcsin(-x) = - arcsinx Если x > 0 , то arctg(-x) = - arctgx arcctg(-x) = p - arcctgx

Обратные триг функции

Функция Свойства  
Область определения Множество значений  
arccosx [0; p]  
arcsinx [-p/2; p/2]  
     
arctgx (-p/2; p/2)  
arcctgx (0; p)  
 

Геометрия

Теорема косинусов, синусов

Теорема косинусов:

Теорема синусов:

Площадь треугольника

           
     
 


Средняя линия

Средняя линия – отрезок, с соединяющий середины двух с сторон треугольника.

Средняя линия параллельна т третьей стороне и равна е её половине:

Средняя линия отсекает подобный треугольник, площадь которого равна одной четверти от исходного

Равносторонний треугольник

треугольник, у которого все стороны равны.

v Все углы равны 600.

v Каждая из высот является одновременно биссектрисой и медианой.

v Центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

v Радиусы окружностей:

Площадь

Равнобедренный треугольник

треугольник, у которого две стороны равны.

1.Углы, при основании треугольника, равны

2.Высота, проведенная из вершины, является б биссектрисой и медиан

 

 

bc
Прямоугольный треугольник

 
 

 


v Теорема Пифагора: Площадь:

v Тригонометрические соотношения:

v Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.

v Радиусы окружностей:

v Высота, опущенная на гипотенузу:

v Катеты:

Биссектриса

 

 

Биссектриса – отрезок, выходящий из вершины треугольника и делящий угол пополам.

· Биссектриса делит противолежащую сторону на части , пропорциональные прилежащим сторонам: ab : ac = b : c

· Биссектриса делит площадь треугольника, пропорционально прилежащим сторонам.

·

 

Конус

H

R
Sбок.= pR(R+L)

 
 


Усеченный конус

 
 


 

 
 


Вписанная окружность

 

 

· Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис треугольника.

· Если окружность вписана в произвольный четырехугольник, тогда попарные суммы противолежащих сторон равны между собой:

a + b = c + d

Описанная окружность

Касательная, секущая

·

· Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его трем сторонам.

· Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.

· Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда трапеция равнобочная.

· Если окружность описана около произвольного четырехугольника, тогда попарные суммы противолежащих углов равны между собой:

Длина окружности, площадь

 
 

 

 


 

 

 
 


Хорда

 

Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности.

· Диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен хорде.

· В окружности равные хорды равноудалены от центра окружности.

· Отрезки пересекающихся хорд связаны равенством:

 

Шар

 
 


 
 


Шаровой сектор

Шаровой сегмент

Центральный, вписанный угол

Сектор

 
 


Касательная, секущая

 
 


Касательная – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Секущая – прямая, имеющая с окружностью две общие точки.

X

X

X

Призма

Прямая

Призма

Цилиндр


Медиана

 
 


Медиана – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

· Медианы треугольника точкой их пересечения делятся в отношении 2:1 (считая от вершины треугольника).

· Медиана делит треугольник на два треугольника с равными площадями.

Правильная пирамида

Правильная пирамида

пирамида, у которой в основании и правильный многоугольник, а вершина с м проецируется в центр основания.

М Все боковые рёбра равны между м м собой и все боковые грани – равные м равнобедренные треугольники.

Усеченная пирамида

Скалярное произведение

 
 


Сумма, разность векторов

Углы на плоскости

     
 
 
 


Координаты вектора

Координаты вектора:

 

Длина вектора:

 

Умножение вектора на число:

Свойства прямых и плоскостей

 
 


(SO) – перпендикуляр к плоскости (ABCD). O – проекция точки S.

– расстояние от точки S до плоскости (ABCD).

a – двугранный угол между плоскостями (SAB) и (ABCD).

Теорема о трёх перпендикулярах:

Функция Значения
0 00 p 6 300 p 4 450 p 3 600 p 2 900
cosx 1 0
sinx 0 1
tgx 0 1 -
ctgx - 1 0

Выпуклый четырёхугольник

Произвольный выпуклый четырёхугольник:

ü Сумма всех углов равна 3600.

ü Площадь:

Правильный многоугольник

Правильным многоугольником называется многоугольник, у которого все стороны и углы равны между собой.

ü Около всякого правильного многоугольника можно описать окружность и в него вписать окружность, причём центры этих окружностей совпадают.

ü Сторона правильного n–угольника:

Площадь правильного n–угольника:

Квадрат

Квадрат:

Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется квадратом.

ü Диагональ квадрата Площадь:

Ромб

Ромб:

Параллелограмм, все стороны которого равны называется ромбом.

ü Диагональ ромба является его осью симметрии. Диагонали взаимно перпендикулярны. Диагонали являются биссектрисами углов.

ü Площадь:

Параллелограмм

Параллелограмм:

Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельные называется параллелограммом.

ü Середина диагонали является центром симметрии.

ü Противоположные стороны и углы равны.

ü Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.

ü Диагонали делятся точкой пересечения пополам:

ü Площадь:

Прямоугольный параллелепипед

V=abc d2=a2+b2+c2

Арифметическая прогрессия

Последовательность, у которой задан первый член a1, а каждый следующий равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называется арифметической прогрессией:

an+1 = an + d, где d – разность прогрессии.

an = a1 + d(n – 1) an = ak + d(n – k)
2an = an-1 + an+1 an + am = ak + al, если n + m = k + l

Геометрическая прогрессия

Определение: Последовательность, у которой задан первый член b1 ¹ 0, а каждый следующий равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q ¹ 0, называется геометрической прогрессией:

bn+1 = bn q, где q – знаменатель прогрессии.

bn = b1 qn – 1 bn = bk qn – k
bn2 = bn-1 bn+1 bn bm = bk bl, если n + m = k + l
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Степень

Определение

, если n – натуральное число

a – основание степени, n - показатель степени

Формулы

Арифметический квадратный корень

Определение

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a - ( ) - называется неотрицательное число, квадрат которого равен a.

Корнем k–ой степени из a (k - нечетное) называется число, k-ая степень которого равна a.

Квадратное уравнение:

ax2 + bx + c = 0

 

Дискриминант: D = b2 – 4ac

       
   


Теорема Виета

Приведенное квадратное уравнение: x2 + px + q = 0

x1 + x2 = - p

x1 × x2 = q

x1+x2 = -b/a

x1× x2 = c/a

Логарифм

Определение

Логарифмом числа по b основанию a называется такое число, обозначаемое , что .

a - основание логарифма (a > 0, a ¹ 1),

b - логарифмическое число ( b > 0)

Десятичный логарифм:

Натуральный логарифм: где e = 2,71828

Формулы


Последнее изменение этой страницы: 2016-06-09

headinsider.info. Все права принадлежат авторам данных материалов.