Главная

Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ. ВЕКТОРНЫЕ ЛИНИИ


 

Если в каждой точке пространственной области задан определенный вектор то говорят, что в этой области задано векторное поле. Векторное поле задается тремя скалярными функциями , являющимися проекциями вектора на координатные оси декартовой системы:

.

Примерами векторных полей могут служить поле электрической напряженности, силовое поле, поле скоростей текущей жидкости и др. Векторное поле тоже может быть плоским, например,

.

Векторной линией поля называется такая линия, касательная в каждой точке которой направлена вдоль заданного в этой точке вектора поля (рисунок 1).

Рисунок 1

Всякое векторное поле обладает семейством векторных линий. Уравнения этого семейства есть общее решение дифференциальных уравнений вида

. (4)

Задача 2. Для плоского поля найти уравнения семейства векторных линий и векторной линии, проходящей через точку

Решение. Так как то, согласно равенству (4), уравнение семейства одно и определяется общим решением дифференциального уравнения

.

Это уравнение линейное относительно как функции от . Решая его методом вариации произвольной постоянной, получим общее решение в виде

.

Выделим из этого семейства одно решение то, которое представляет собой уравнение векторной линии, проходящей через точку . Подставив в общее решение получим Итак, искомая векторная линия

 

ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ

Пусть в поле вектора задана ориентированная поверхность . Обозначим через единичный вектор нормали к выбранной стороне поверхности в ее произвольной точке. Поверхностный интеграл первого рода по поверхности от скалярного произведения вектора на вектор

(5)

называется потоком векторного поля через ориентированную поверхность и обозначается . В случае замкнутой поверхности поток записывается в виде

.

Если ввести в рассмотрение вектор и обозначить его проекции на оси координат то формулу (5) можно переписать в виде

(6)

где вектор направлен по нормали к выбранной стороне поверхности . Правая часть равенства (6) является поверхностным интегралом второго рода.

Если, например, – поле скоростей текущей жидкости в области и – незамкнутая поверхность с выбранным направлением нормали , то равен количеству жидкости, проходящей в единицу времени через поверхность в направлении . Если – замкнутая поверхность, ограничивающая некоторую область с внешней нормалью , то равен разности количеств втекающей в эту область жидкости и вытекающей. Когда это означает, что в области имеются источники (где векторные линии порождаются), а если то это указывает на наличие в области стоков (где векторные линии заканчиваются).

Если ориентированная поверхность задана явно непрерывно дифференцируемой функцией то по формуле (6) можно получить следующую формулу, связывающую поверхностный интеграл по поверхности с двойным интегралом по проекции этой поверхности на плоскость :

(7)

где знак плюс берется, когда интегрирование в левой части ведется по стороне положительно ориентированной по отношению к оси - вектор нормали к ориентированной поверхности. Запись означает, что в произведении переменную следует заменить на

Если поверхность задана явно уравнением или то соответственно меняются роли переменных в формуле (7).

Замечание.Если поверхность задана уравнением которое неоднозначно разрешается относительно одной из переменных и, следовательно, поверхность неоднозначно проецируется на соответствующую координатную плоскость (например - цилиндрическая поверхность неоднозначно проецирующаяся на плоскость ), ее следует разбить на части, однозначно проецирующиеся на координатную плоскость.

Задача 3. Вычислить поток вектора через нижнюю сторону поверхности , отсеченной плоскостью (рисунок 2).

Рисунок 2

Решение. Учитывая, что имеет различный знак для правой и левой части поверхности , а – сохраняет отрицательный знак для всей поверхности, будем иметь

где – правая часть поверхности (нормаль к ней составляет с острый угол), – левая часть поверхности. Первые два слагаемых уничтожаются, так как и имеют одинаковую проекцию на Окончательно имеем :

где – проекция на имеет форму круга с границей . Поэтому, переходя к полярным координатам, получим

4 ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО.

ДИВЕРГЕНЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ

 

Если функции дифференцируемы в замкнутой области , ограниченной кусочно-гладкой поверхностью , то имеет место формула Остроградского

(8)

где выбрана внешняя сторона поверхности

Дивергенцией векторного поля в точке называется предел отношения потока поля через замкнутую поверхность , окружающую точку к объему тела, ограниченного этой поверхностью, при стремлении диаметра тела к нулю:

.

По знаку дивергенции можно судить о наличии источника или стока векторного поля в точке . Так, если то в точке - источник, а если то сток. Если то в точке нет ни источника, ни стока. Абсолютная величина характеризует мощность источника или стока в точке .

Для дифференцируемых и в области существует

(9)

в любой точке

Тогда формула Остроградского в векторной форме имеет вид

. (10)

Векторное поле называется соленоидальным в области , если его дивергенция равна нулю в каждой точке области . Для соленоидального поля характерно, что в отсутствуют источники и стоки, а для любой замкнутой поверхности .

Задача 4.Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность, состоящую из частей и в направлении внешней нормали (рисунок 3)

Рисунок 3

Решение. Поле дифференцируемо во всем пространстве поэтому по формуле (9) получим

и по формуле (10)

Интеграл удобно вычислять в цилиндрических координатах

Замечание. Если поверхность незамкнутая, то иногда использование формулы Остроградского в равенстве

где - еще одна поверхность, замыкающая область , может оказаться целесообразнее, чем вычисление поверхностного интеграла по поверхности

Задача 5. Вычислить поток вектора через внешнюю сторону части сферы , которая вырезана конической поверхностью (рисунок 4).

Рисунок 4

Решение. Линия пересечения сферы с конусом лежит в плоскости поэтому дополним часть сферы еще этой плоскостью и получим замкнутую поверхность. Тогда поток через часть сферы будет получен интегралами (замечание)

где - нижняя сторона части плоскости имеющая форму круга с границей Вычислим

Здесь - проекция круга из плоскости на плоскость

 

ЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ

И ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ

Пусть в области задано непрерывное векторное поле и ориентированная гладкая кривая (с заданным направлением обхода). Обозначим единичный вектор касательной к линии через , направление которого совпадает с выбранным направлением на линии.

Линейным интегралом векторного поля вдоль линии называется криволинейный интеграл первого рода от скалярного произведения векторов и :

(11)

где - дифференциал дуги кривой.

Если ввести в рассмотрение вектор ( - радиус вектор точки, описывающей линию ) и обозначить его проекции на координатные оси , то формулу (11) можно записать в виде

(12)

где вектор направлен по касательной к . Правая часть равенства (12) является криволинейным интегралом второго рода (криволинейный интеграл по координатам).

Если -силовое поле, то линейный интеграл равен работе, которую поле совершает по перемещению материальной точки вдоль ориентированной линии .

Для вычисления криволинейного интеграла второго рода, если кривая задана параметрическими уравнениями и при перемещении точки от до параметр меняется от до (выполнение условия не обязательно), используется переход к определенному интегралу:

(13)

Линейный интеграл называется циркуляцией векторного поля , если - замкнутая линия. Тогда из двух возможных направлений обхода контура условимся называть положительным то, при котором область, лежащая внутри плоского контура остается слева по отношению к точке, совершающей обход (рисунок 5)

Рисунок 5

Если - замкнутая пространственная кривая, то ее направление обхода специально оговаривается.

Задача 6.Вычислить циркуляцию поля вектора по замкнутой линии , состоящей из одного витка винтовой линии от точки до точки и прямолинейного отрезка .

Решение. Виток соответствует изменению параметра в уравнениях кривой от до . Прямая имеет направляющий вектор , поэтому ее параметрические уравнения будут , где изменяется от до . Вычислим циркуляцию по формулам (12) и (13)

 

 

 



Последнее изменение этой страницы: 2016-07-23

headinsider.info. Все права принадлежат авторам данных материалов.