Главная

Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Некоторые операция над матрицами


В =

Матрицы, описанные в предыдущем параграфе, различаются по числу элементов, числу строк и числу столбцов. Так, в матрице У один столбец, пять строк и пять элементов, а н матрице X тоже пять строк, но два столбца и десять элементов. Если чйсло строк и число столбцов различны, то матрицы назы­ваются прямоугольными, а при равном числе строк и столб­цов — квадратными. Все матрицы ив этого примера —
прямоугольные. Если матрица имеет всего один столбец, то ее называют матрицей-столбцом или вектор-столбцом, "Примерами служат матрицы Y и Аналогично можно определить и матрицы- строки (векторы-строки).

Вернемся к нашему примеру. На основании исходных данных можно записать систему из пяти уравнений по одному уравне­нию для каждого опыта: yi—b<fc0Jrb1xu (г=1, 2, . . ., 5) или в раз­вернутой форме:

0 = Vl + V(-2);

2=vi+V(0);

3 = 60.1 + Ь1.(+1); /i = Vl+bi-(+2).

На матричном языке эта система уравнений выглядит следую­щим образом:

"0"   +1 —2
  +1 —1
  +1
  +1 +1
_4_   L+i +2J

 

Чтобы эти две записи стали эквивалентными, необходимо ввести определенные правила перемножения матриц. Будем в произведении различать матрицу, стоящую слева, и матрицу, стоящую справа. Перемножить две матрицы Ьто значит получить матрицу произведений, элементы которой находятся по следую­щим правилам.

Элементы первой строки матрицы, стоящей слева, умножаются на соответствующие элементы матрицы, стоящей еправа, и полу­ченные произведения складываются. В нашем случае имеем: (+1)&о+(—2) Для получения элемента, стоящего на пересе­чении первого столбца и второй строки, аналогичная операция проделывается со второй строкой матрицы, стоящей слева, и тем же самым первым столбцом матрицы, стоящей справа, т. е. (+1) &о+(—1) bv Продолжая таким образом до последней строки матрицы, стоящей слева, получаем все элементы первого столбца матрицы произведений. Эта процедура повторяется столько раз, сколько вектор-столбцов содержит матрица, стоящая справа. В нашем случае эта матрица имеет только один столбец.. Из опре­деления видно, что матрица произведений имеет столько столб­цов, сколько матрица, стоящая справа, и столько строк, сколько матрица, стоящая слева. В рассматриваемом npmtepe матрица-


Произведение имеет один столбец и пять строк, чю соответствует размерности матрицы У. И тогда матрица-произведение имеет вид

-1 &0 + М-2)" 1 Ь0-|-&х(—1) 1 ^ + 6,(0) 1 &0 + М+1)

.1 bQ + (+2)_

Сопоставление матрицы-произведения с системой уравнений убеждает нас в тождественности матричной и нематричной форм записей. Вектор Y, оказывается, и есть матрица произведений в данном случае. Элементы матрицы-произведения называются скалярными произведениями вектор-строки матрицы, стоящей слева, и соответствующего вектор-столбца матрицы, стоящей справа. В правилах перемножения матриц существуют особенности, не имеющие аналога в числах. Так, небезразлично, л каком по­рядке записаны матрицы в произведении. Вы, наверное, заметили, что левая и правая матрицы неравноправны. Если вы захотите умножить матрицу В на матрицу X (ВХ), то убедитесь, что этого сделать невозможно, ибо длины векторов, входящих в скалярное произведение, должны быть согласованы.

Такимобразом, для двух произвольных матриц произведение су­ществует, если число столбцов матрицы, стоящей слева, равно числу строк матрицы, стоящей справа. Ясно, что для двух квадратных мат­риц одинакового размера существуют оба произведения (справа и слева),однако они могут быть различными. Матрицы, произведение которых не зависит от порядка сомножителей, называются комму­тирующими. В общем же случае для произведения матриц комму­тативный закон не выполняется.

Перейдем теперь к системе нормальных уравнений МЯК, которая в нашем случае выглядит следующим образом (см. стр. 144):

5&0 + 0^ = 10; 060 +10^=10.

X7:

Можно показать, что в матричном виде она запишется следующим образом: XrXB=XyY. Здесь Хг обозначает матрицу, транспо­нированную по отношению к матрице X. Протранснонировать матрицу — это значит столбцы исходной матрицы сделать строками транспонированной матрицы, сохранив их последовательность. Так, в нашем случае транспонированная матрица

'+1 +i +i +i -f-1 —2 —1 0 +1 +2.

Для получения системы нормальных уравнений нам пришлось умножить обе части исходной системы уравнений слева на Хг. Давайте выполним эти операции


XTY

+-1 4-1 4-1 +1 +1 —2 —1 0 +1 +2

  "10"
 
О 4-1 4-2 +3 +4 О 4_(_1) 1-0 1-3 и

 

 


-1 -И +1 +1 +1 2 _i о 4-1 +2

1 +1 4-1 +1 +1

хтх

_2 —1 0+1+2

-И }-1

+ 1

+ '

    о"
 

+ i

+2

—2—1 0+1+2 +4 -f-1 0+1 +4


 

 


Теперь можно записать систему уравнении:

  V   "ю"
О   Л.  

 

Читателю представляется возможность убедиться в том, что полученная матричная запись в точности соответствует исходной системе нормальных; уравнений.

Матрица Х7Х называется матрицей системы нормальных уравнений. Она обладает рядом важных для нас свойств. Прежде всего заметим, что в этой матрице два элемента, расположенных симметрично относительно диагонали, идущей с левого верхнего угла в правый нижний (так называемой главной диагонали), равны между собой. В нашем случае это нули. Такое свойство характерно для матриц систем нормальных уравнений МНК, так как векторы, входящие в скалярные произведения, комму­тативны.

Матрица, элементы которой симметричны относительно глав­ной диагонали, называется симметричной. Если все элементы вне главной диагонали раЕиы нулю, то такая матрица называется диагональной. В дальнейшем нам понадобится еще одна разновид­ность диагональных матриц. Диагональная матрица, все элементы главной диагонали которой являются единицами, называется еди­ничной матрицей. Едииичная матрица играет в алгебре матриц такую же роль, какую единица — в алгебре чисел.

Решить систему нормальных уравнений это значит записать в явном виде элементы вектора В (60 и ЪЕсли бы мы имели дело с числами, то для этого и>жно было бы поделить обе части на коэф­фициент при неизвестном и получить ответ. Но для матриц вместо деления (которое не определено) используется специальная опе-

11 Заказ Я. 588

рация умножения на обратную матрицу. Задача состоит в том, чтобы превратить матрицу, стоящую перед матрицей неизвестных коэффициентов, в единичную. Тогда умножение вектора В на еди­ничную матрицу его не изменит, а чтобы равенство не наруши­лось, и правую часть придется домножить на соответствующую матрицу. Если условиться обозначать обратную матрицу степенью —1, то предыдущие рассуждения приведут к следующей записи: (Х^Х)-1 (XTX)B=(XrX)-1XrY. Здесь система нормальных уравнений МНК умножена слева на матрицу, обратную к матрице системы нормальных уравнений.

Произведение обратной матрицы на прямую справа равно единичной матрице, которую условимся обозначать Е: Е=(ХГХ)~13Х). В этом равенстве участвуют три матрицы. Матрица системы нормальных уравнений Х'Х, которую назы­вают прямой матрицей, (Х^Х)-1,— обратная матрица. Перепи­шем это равенство для нашей задачи

"1 о"   а11 а12   "5 0 "
о   _ ^21 ^22 _   10.

 

Неизвестные элементы обратной матрицы обозначены а{ , где г=1, 2 соответствует строке, а /=1, 2 — столбцу. Найдем эти элементы


 

 


1 = ап 5 а12 0; 0 = аи • 0 + а12 • 10;

0 = а21 • 5 а22 • 0;

1 = а21 0 а22 • 10.


 

 


22"
(Х^Х)-1:

Отсюда следует, что ац=1/5, а12=0, а21=0, а. Запишем обратную матрицу

'V. о о Vio.


 

 


Лишь благодаря простоте примера можно было воспользоваться столь элементарной процедурой. В общем случае приходится при­бегать к более сложным алгоритмам и вычислительной технике [5, 6].

Отметим некоторые существенные свойства обратной матрицы. Произведение прямой и обратной матрицы коммутативно. Если прямую матрицу обозначить А, то АА_1 = А~1А=Е.

Матрица, обратная к симметричной, тоже будет симметрична.,. На главной диагонали матрицы, обратной к диагональной, будут стоять числа, обратные соответствующим числам, стоящим на диагонали прямой матрицы. Зная это свойство, мы могли не про­делывать предыдущие вычисления, а сразу записать обратную матрицу для нашего примера.

Продолжим вычисление для примера. Подставим известные матрицы в уравнение для вектора коэффициентов B=(XrX)~1XrY.

Имеем

V   Ч 0 '   "10"
А.   .о V   .ю.

 

Осталось перемножить матрицы и получить

V   "7б •10 +0-10   "2"
А.   0-10    

 

Две матрицы равны, когда равны их соответствующие элементы, поэтому Ь0=2, 1. Таким образом, мы получили результат, совпадающий с полученным ранее без использования матриц.

Введем еще одно важное понятие: каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие некоторое число, называемое определителем этой матрицы. Определитель представляет собой алгебраическую сумму всех возможных произведений, в каждое из которых входит по одному элементу от каждой строки и от каждого столбца. Причем знак произведения (+ или —) зависит от положения элементов данного произведения матрицы.

Посчитаем определитель для матрицы системы нормальных уравнений. Здесь возможны два" произведения, каждое из кото­рых содержит два сомножителя 5-10=50 и 0-0=0.

Определитель принято обозначать

0 10 =[7]0-° = 5°

или


 

 


(det — определитель от латинского determinant). Вычислим определитель обратной матрицы

-.±-0 = 1- 50 50 '
а*
1ВЗ

V. оо

ю

Можно заметить, что между определителями прямой и обратной матрицы существует в данном случае простое соотношение: они являются взаимнообратными числами. Такое соотношение выполняется и в общем случае.

Определитель может быть любым действительным числом, как положительным, так и отрицательным. Он может оказаться и равным нулю. С последним случаем связаны некоторые особен­ности свойств матрицы. Матрица, определитель которой равен нулю, не имеет обратной. Такую матрицу называют особенной, вырожденной или сингулярной. Если же определитель матрицы не равен нулю, то матрица называется неособенной, невырожден­ной или несингулярной.

Например, у следующей матрицы определитель равен нулю и она является вырожденной

—1 +2

Значит, решение системы нормальных уравнений возможно только тогда, когда матрица невырождена, т. е. det (Х'Х^О. Это предполагалось и имело место в нашем примере.

det



Последнее изменение этой страницы: 2016-07-23

headinsider.info. Все права принадлежат авторам данных материалов.