Главная

Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ ПОСЛЕ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛИ


Не нам, господа, подражать Плинию.

Наше дело выравнивать линию.

К. Прутков

11.1. Интерпретация результатов

Адекватная линейная модель, которой мы теперь располагаем, имеет вид полинома первой степени. Коэффициенты полинома явля­ются частными производными функции отклика по соответству­ющим переменным. Их геометрический смысл — тангенсы углов наклона гиперплоскости к соответствующей оси. Больший по аб­солютной величине коэффициент соответствует большему углу наклона и, следовательно, более существенному изменению пара­метра оптимизации при изменении данного фактора.

До сих пор мы употребляли абстрактный математический язык. Перевод модели на язык экспериментатора называется интерпре­тацией модели.

Задача интерпретации весьма сложна. Ее решают в несколько этапов. Первый этап состоит в следующем. Устанавливается, в ка­кой мере каждый из факторов влияет на параметр оптимизации. Величина коэффициента регрессии—количественная мера этого влияния. Чем больше коэффициент, тем сильнее влияет фактор. О характере влияния факторов говорят знаки коэффициентов. Знак плюс свидетельствует о iом,-Что с увеличением значения фактора растет величина параметра оптимизации, а при знаке минус — убывает. Интерпретация знаков при оптимизации зави­сит от того, ищем ли мы максимум или минимум функции отклика. Если у ->. max, то увеличение значений всех факторов, коэффици­енты которых имеют знак плюс, благоприятно, а имеющих знак минус — неблагоприятно. Если же у min, то, наоборот, благо­приятно увеличение значений тех факторов, знаки коэффициентов которых отрицательны.

Далее выясняется, как расположить совокупность факторов в ряд по силе их влияния на параметр оптимизации. Факторы, коэф­фициенты которых незначимы, конечно не интерпретируются. Можно сказать только, что при данных интервалах варьирования и ошибке воспроизводимости они не оказывают существенного влияния на параметр оптимизации.

Изменение интервалов варьирования приводит к изменению коэффициентов регрессии. Абсолютные величины коэффициентов регрессии увеличиваются с увеличением интервалов. Инвариант­ными к изменению интервалов остаются знаки линейных коэффи­циентов регрессии. Однако и они изменятся на обратные, если при движении по градиенту (гл. 12) мы «проскочим» экстремум.

В некоторых задачах представляет интерес построение уравне­ния регрессии для натуральных значений факторов. Уравнение для натуральных переменных можно получить, используя фор­мулу перехода (стр. 72). Коэффициенты регрессии изменятся. При этом пропадает возможность интерпретации влияния факторов но величинам и знакам коэффициентов регрессии. Вектор-столбцы натуральных значений переменных в матрице планирования ужо не будут ортогональными, коэффициенты определяются зави­симо друг от друга. Если же поставлена задача получения интер­поляционной формулы для натуральных переменных, такой прием допустим.

Пример 1. Определений оптимальных условий ионнообменного разделения вводима и празеодима (стр. 70) у -» шах.

Вспомним, что Si — концентрация промывающего раствора (элюанта), £г — рН этого же раствора, у — процентное содержание неодима в выходя­щем растворе — элюате.

После обработки эксперименаальных данных получено уравнение ре­грессии

$ = 88,0 — 2,0хх — 4,5Х2. «{6 } =0,30.

К увеличению параметра оптимизации приводит уменьшение значений факторов. Подставим в уравнение регрессии разные кодированные значения факторов и посмотрим, при каких значениях факторов увеличивается пара­метр оптимизации.

Если подставить в уравнение значения ^1=4-1 и ж2= +1, то получится

2/=88,0 - 2,0 (+1) - 4,5 (+1)=81,5.

Теперь подставим значения 1 и х2~—1

у=88,0 — 2,0 (-1) - 4,5 (—1)=94,5.

Уменьшение значений факторов действует благоприятно. Для увеличе­ния параметра оптимизации нужно уменьшать значения факторов.

Запомните правило: если коэффициент регрессии отрицателен, то для увеличения параметра оптимизации надо уменьшать значе­ние фактора, а если положителен, то увеличивать.

При минимизации параметра оптимизации можно изменить знаки коэффициентов (кроме Ь0) на обратные и поступать, как в пер­вом случае.

Теперь мы получили основу для перехода к следующему этапу. Априорные сведения дают некоторые представления о характере действия факторов. Источниками таких сведений могут служить теория изучаемого процесса, опыт работы с аналогичными про­цессами или предварительные ошрты и т. д.


Если, например, ожидается, что с ростом температуры должно происходить увеличение параметра оптимизации, а коэффициент регрессии имеет знак минус, то возникает противоречие. Возможны две причины возникновения такой ситуации: либо в экспери­менте допущена ошибка и он должен быть подвергнут ревизии, либо неверны априорные представления. Нужно иметь в виду, что экс­перимент проводится в локальной области факторного простран­ства и коэффициент отражает влияние фактора только в этой об­ласти. Заранее не известно, в какой мере можпо распространить результат на другие области. Теоретические же представления имеют обычно более общий характер. Кроме того, априорная ин­формация часто основывается на однофакторных зависимостях. При переходе к многофакторному пространству ситуация может изменяться. Поэтому мы должны быть уверены, что эксперимент проведен корректно. Тогда для преодоления противоречия можно выдвигать различные гипотезы и проверять их экспериментально. Эксперименты по проверке гипотез тоже можно планировать, но эти задачи здесь мы не рассматриваем.

В тех, довольно редких, случаях, когда имеется большая априор­ная информация, позволяющая выдвигать гипотезы о механизме явлений, можно перейти к следующему этапу интерпретации. Он сводится к проверке гипотез о механизме явлений и выдвиже­нию новых гипотез.

Получение информации о механизме явлений не является обязательным в задачах оптимизации, но возможность такого рода следует использовать. Здесь особое внимание приходится уде­лять эффектам взаимодействия факторов. Как их интерпретиро­вать?

Пусть в некоторой задаче взаимодействие двух факторов зна­чимо и имеет положительный знак. Это свидетельствует о том, что одновременное увеличение, как и одновременное уменьшение, значений двух факторов приводит к увеличению параметра оптими­зации (без учета линейных эффектов). А если эффект взаимодейст­вия факторов Xj и х2 имеет отрицательный знак? Любая комбина­ция разных знаков хх и х2 приводит к росту параметра оптими­зации.

Запомните правило: если эффект взаимодействия имеет положи­тельный знак, то для увеличения параметра оптимизации требу­ется одновременное увеличение или уменьшение значений факто­ров, например сочетания: ^=+1 и x2 = ~j-l или жх=—1 и х2 =—1. Для уменьшения параметра оптимизации факторы должны одно­временно изменяться в разных направлениях, например ^=+1 и х2 =—1 или хх~—1 и x2—~j-i.

Если эффект взаимодействия имеет отрицательный знак, то для увеличения параметра оптимизации факторы должны одно­временно изменяться в разных направлениях, например

и х2 ——1 или хх=—1 и =-{-!.

13 Заказ Я> 588

Для уменьшения параметра оптимизации требуется одновре­менное увеличение или уменьшение факторов, т. е.

^=+1 и ж2=+1, или ху——1 и ж2=—1.

Вы видите, что интерпретация эффектов взаимодействия не так однозначна, как линейных эффектов. В каждом случае имеется два варианта. Какому из вариантов отдавать предпочтение? Прежде всего нужно учесть знаки линейных эффектов соответствующих факторов. Если эффект взаимодействия имеет знак плюс и соот­ветствующие линейные эффекты отрицательны, то выбор одно­значен: сочетание —1 и —1. Однако возможен случай, когда знаки линейных эффектов различны. Тогда приходится учитывать чи­сленные значения коэффициентов и жертвовать самым малым эффектом.

Иногда приходится учитывать технологические соображения: например, эксперимент в одной области факторного пространства дороже (или труднее), чем в другой.

Пример 2. Рассмотрим один из простейших примеров интерпретации, связанной с гипотезами о механизме действия факторов (см. стр. 118). Изу­чалось влияние трех факторов на выход сульфадимизина. По поводу влияния концентрации уксусной кислоты х3 априори выдвигалась следующая гипо­теза. Предполагалось, что уксусная кислота является растворителем, не участвующим в процессе. Из уравнения регрессии

у = 85,975 f 2,588*!-f 0,568:г2 + 1,125*, — 0,588ад, — 0,Шх2х3, (s{4} = = 0,28)

видно, что существенным оказался не только Ь3, но также Ь13 и Ь23. Этот факт Ставит под сомнение первоначальную гипотезу, и можно предположить, что уксусная кислота активно участвует в процессе.

Заканчивая этот параграф, упомянем еще об интерпретации эффектов взаимодействия высоких порядков. Если значимым ока­зался эффект взаимодействия трех факторов, например хгх2х3, т0 его можно интерпретировать следующим образом. Этот эффект может иметь знак плюс, если отрицательные знаки будут у четного числа факторов (ноль или любые два). Знак минус будет, если нечетное число факторов имеет знак минус (все три или любой один). Это правило распространяется на взаимодействия любых поряд­ков. Пользуются еще таким приемом. Произведение двух факто­ров условно считают одним фактором и сводят трехфакторное взаимодействие к парному и т. д.

Мы сказали, что интерпретация результатов — это перевод с одного языка на другой. Такой перевод обеспечивает взаимопони­мание между статистиком и экспериментатором, работающими совместно над задачами оптимизации. Интерпретация уравнения регрессии важна не только для понимания процесса, но и для при­нятия решений при оптимизации.

11.2. Принятие решений после построения модели процесса

Нам придется принимать решения в сложных ситуациях. Решения зависят от числа факторов, дробности плана, цели иссле­дования (достижение оптимума, построение интерполяционной формулы) и т. д. Количество возможных решений по примерной оценке достигает нескольких десятков тысяч. Поэтому мы будем рассматривать только наиболее часто встречавшиеся нам случаи и выделим «типичные» решения. Положение здесь сложнее, чем в случае принятия решений о выборе основного уровня и интер­валов варьирования факторов (гл. 6), где удалось рассмотреть все варианты. Ситуации будем различать по адекватности и неадек­ватности модели, значимости и незначимости коэффициентов регрес­сии в модели, информации о положении оптимума.

Обсудим сначала принятие решения для адекватного линей­ного уравнения регрессии.

Линейная модель адекватна. Здесь возможны три варианта ситуации: 1) все коэффициенты регрессии значимы; 2) часть коэф­фициентов регрессии значима, часть незначима; 3) все Коэффици­енты регрессии незначимы.

В каждом варианте оптимум может быть близко, далеко или о его положении нет информации (неопределенная ситуация).

Рассмотрим первый вариант.

Если область оптимума близка, возможны три решения: окон­чание исследования, переход к планам второго порядка и движение по градиенту.

Переход к планированию второго порядка дает возможность получить математическое описание области оптимума и найти экстремум. Хотя мы и не рассматриваем вопросы построения пла­нов второго порядка, эту возможность надо также учитывать. Подробные рекомендации по применению планирования второго порядка вы найдете, например, в руководстве [1].

Движение по градиенту используется при малой ошибке опыта, поскольку на фоне большой ошибки трудно установить прираще­ние параметра оптимизации.

Решение при неопределенной ситуации или удаленной области оптимума одно и то же: движение по градиенту.

Второй вариант — часть коэффициентов регрессии значима, часть незначима. Вам пока придется поверить, что движение по гра­диенту наиболее эффективно, если коэффициенты значимы. По­этому выбираются решения, реализация которых приводит к по­лучению значимых коэффициентов. На этом этапе важно выдвинуть гипотезы, объясняющие незначимость эффектов. Это может быть и неудачный выбор интервалов варьирования, и включение (из осто­рожности) факторов, не влияющих на параметр оптимизации, и большая ошибка опыта, и т. д. Решение зависит от того, какую гипотезу мы предпочитаем.

Если, например, выдвинута первая гипотеза, то возможно та­кое решение: расширение интервалов варьирования по незначи­мым факторам и постановка новой серии опытов. Изменение ин­тервалов варьирования" иногда сочетают с переносом центра ^экс­перимента в точку, соответствующую условиям наилучшего опыта. Невлияющие факторы стабилизируются и исключаются из даль­нейшего рассмотрения. Другие возможные решения для получения значимых коэффициентов: увеличение числа параллельных опы­тов и достройка плана. Увеличение числа параллельных опытов приводит к уменьшению дисперсии воспроизводимости и соответ­ственно дисперсии коэффициентов регрессии. ()пыты могут быть повторены либо во всех точках плана, либо в некоторых.

Достройка плана осуществляется несколькими способами; методом «перевала» — у исходной реплики Изменяют знаки на об­ратные (в этом случае основные эффекты оказываются не смешан­ными с парными эффектами взаимодействия); переходом к полному факторному эксперименту; переходом к реНлике меньшей дроб­ности; переходом к плану второго порядка (если область оптимума близка).

Реализация любого из, этих решений требует значительных экспериментальных усилий. Поэтому иногда можно и не следовать строго правилу «двигайтесь по всем факторам», а пойти на некото­рый риск и двигаться только по значимым факторам.

Наконец, если область оптимума близка, то возможно принятие таких же решений, как и в случае значимости всех коэффициентов регрессии.

Рассмотрим последний вариант: линейная модель адекватна, все коэффициенты регрессии незначимы (кроме Ь0). Чаще всего это происходит вследствие большой ошибки эксперимента или узких интервалов варьирования. Поэтому возможные решения направ­лены прежде всего на увеличение точности эксперимента и расши­рение интервалов варьирования. Увеличение точности, как вй уже знаете, может достигаться двумя путями: благодаря улучшению методики проведения опытов или вследствие постановки параллель­ных опытов.

Если область оптимума близка, то возможно также окончание исследования.

В заключение приведем блок-схему принятия решения в за­даче определения оптимальных условий, линейная модель адек­ватна (рис. 28). В блок-схеме пунктирными линиями обведены си­туации, сплошными линиями — принимаемые решения.

Пример 3. При определении оптимальных условий технологического' процесса получения волокна из полипропилена в качестве независимы^ переменных были выбраны: х1 — температура расплава, °С; — давление расплава, кг/см2', х3 — скорость намотки на бобину, м/мин] Ж4 — темпера­тура нагревателей, °С; хй — скорость вытягивания, м/мин; 2в — кратность вытягивания.



Параметр оптимизации — прочность, волокна. Условия, матрица пла­нирования и результаты этих дорогостоящих и трудоемких опытов приве­дены в табл. 11.1 [2].

Таблица 11.1 Матрица планирования и результаты опытов
Уровень Фактор  
             
    х2   X,      
Основной 2,40 0,35 7,2  
интервал варьи­ 0,47 0,12 0,3  
рования              
Верхний 2,87 0,47 7,5  
Нижний 1,93 0,23 6,9  
    Кодированные значения факторов  
Опыты              
             
  xt Хг «j X, «5 Яд Отклик у
—1   -1 —1 — 1 —1 53,4
+1 —1 +1 —1 — 1 +1 65,3
+1 —1 -1 +1 +1 —1 54,2
—1 +1 +1 —1 + 1 —1 56,2
—1 + 1 -1 +1 — 1 +1 52,8
+1 +1 +1 +1 — 1 —1 52,2
+1 +1 -1 —1 + 1 +1 65,1
—1 -- 1 +1 +1 . +1 +1 52,8

 

Здесь использована 1/8-реплика от полного факторного эксперимента 2е с генерирующими соотношениями xi=x1x2x3, х6-~ —хухг, хв-= —х2х3.

Получены следующие оценки коэффициентов регрессии и ошибки в их определении:

= 56,500, Ь3= 0,125, Ье = 2,500,

bj = 2,700, fc4 = —3,500, s^ =1,060.

6а= 0,0749, fc6= 0,575.

Линейное уравнение регрессии адекватно. Из шести коэффициентов регрессии три коэффициента (bv blt fre) значимы. Информации о положении области оптимума нет.

Рассмотрим два варианта принятия решения: 1) движение по градиенту; 2) расширение интервалов варьирования.

Оценим первый вариант. Из шести коэффициентов регрессии только три оказались значимыми, так что движение может быть неэффективным. Далее применена 1/8-реплика от полного факторного эксперимента; смешан­ность эффектов высока, и не исключено, что оценки коэффициентов регрессии являются суммарными оценками нескольких значимых эффектов. С другой

стороны, устранение незначимости линейных эффектов требует постановки цовых опытов, а они длительны и дороги. В крутом восхождении мы рискуем напрасно поставить только 2—3 опыта. Поэтому решение о движении по гра­диенту кажется нам разумным.

В данном примере было принято решение о движении по градиенту.

Второй вариант — с помощью дополнительных опытов устрапить не­значимость эффектов. Действительно, только три коэффициента из шести оказались значимыми, эффекты смешаны довольно сильно: движение по градиенту может быть неэффективным. Поэтому решение об изменении ин­тервалов варьирования кажется правильным. Единственное, что не учтено этим решением, — длительность и трудоемкость опытов. Изменение интер­валов варьирования требует не менее восьми дополнительных опытов. Это трудно осуществить на практике.

Пример 4. В задаче ионообменного разделения неодима и празеодима (стр. 70) получено адекватное уравнение регрессии: р=88,0—2,0а-!—4,5х2; jr/,\—0,30. Все коэффициенты регрессии значимы, область оптимума близка (наилучший опыт серии г/х=95%). Цель исследования — получение выхода 99—100%, число опытов лимитировано. Варианты решения: 1) движение по градиенту; 2) окончание исследования; 3) переход к плану второго порядка.

Первый вариант — движение по градиенту. Это наиболее приемлемое решение. Несмотря на близость области оптимума, целесообразно увеличить выход на несколько процентов за счет реализации небольшого (2—3) числа опыгов. Этой цели отвечает решение о движении по градиенту, тем более что постановка плана второго порядка потребовала бы проведения еще не менее 5 опытов.

Второй вариант — исследование можно закончить. Закончить или про­должить исследование — решает экспериментатор, исходя из тех задач, которые перед ним стоят. Здесь представлялось важным увеличить выход на несколько процентов по сравнению с лучшим опытом серии (^=95%).

Третий вариант — следует переходить к планированию второго порядка. По условию задачи важно было увеличить выход за счет двух-трех опытов. Этому отвечает движение по градиенту.

В данной задаче было использовано движение по градиенту, расчет которого приведеп в гл. 12.

Остается только упомянуть о задаче построения интерполяци­онной формулы: цель исследования достигнута, если получена адекватная модель.

Перейдем к следующему разделу — принятие решения в слу­чае неадекватной линейной модели.

Линейная модель неадекватна. Если линейная модель неадекватна, значит не удается аппроксимировать поверхность отклика плоскостью. Формальные признаки (кроме величины F-кри- терия), по которым можно установить неадекватность линейной модели, следующие.

1. Значимость хотя бы одного из эффектов взаимодействия.

2. Значимость суммы коэффициентов регрессии при квадратич­ных членах Оценкой этой суммы служит разность между Ъ0 и значением зависимой переменной в центре плана у0. Если раз­ность превосходит ошибку опыта, то гипотеза о незначимости-коэф- фициентов при квадратичных членах не может быть принята. Од­нако надо учесть, что сумма может быть незначима и при значи­мых квадратичных эффектах, если они имеют разные знаки.

Для неадекватной модели мы не будем делать различия между случаями значимых и незначимых линейных коэффициентов рег­рессии, поскольку решения для них обычно совпадают.

Решения, принимаемые для получения адекватной модели: изменение интервалов варьирования факторов, перенос центра плана, достройка плана.

Наиболее распространенный прием — изменение интервалов варьирования. Он, конечно, требует постановки новой серии опы­тов. Иногда отказываются от построения адекватной модели, чтобы ценой нескольких опытов проверить возможность движе­ния по градиенту. Это решение нельзя считать достаточно коррект­ным. Движению по градиенту обычно предшествует оценка кри­визны поверхности отклика (по сумме коэффициентов при квадра­тичных членах) и сопоставление величин линейных эффектов и эффектов взаимодействия. Если вклад квадратичных членов и эф­фектов взаимодействия невелик, то решение о движении по гради­енту представляется возможным.

Еще одно решение: включение в модель эффектов взаимодейст­вия и движение с помощью неполного полинома второго порядка. Этот прием связан с получением и анализом уравнений второго порядка. Направление градиента будет меняться от точки к точке.

Если область оптимума близка, то, как и в блок-схеме рис. 28, возможны варианты окончания исследования и перехода к постро­ению плана второго порядка.

На рис. 29 приведена блок-схема принятия решений в задаче оптимизации для случая, когда линейная модель неадекватна.

Пример 5. Оптимизировался процесс получения фармацевтического препарата (карбометоксисульфанилгуанидина). В качестве факторов были выбраны: хх — отношение растворителя к основному веществу, г/л; х2 — температура реакционной массы, °С; х3 — время реакции, мин.

Параметр оптимизации — выход продукта в процентах. Условия, мат­рица планирования и результаты опытов приведены в табл. 11.2.

Получены следующие результаты:

60 = 23,15, Ь3 = 9,47, bi3 = 3,64, ^{Ь}=0,12,

61= 1,92, 612= 0,04, Ьш = ~ 0,87, s|y} = 0,97.

62 = 10,35, Ь13 = —0,91,

Линейное уравнение регрессии оказалось неадекватным: Faicn=32,74 при табличном значении 4,12. Область оптимума далека.

Варианты решения: 1) постановка новой серии опытов, связанная с из­менением интервалов варьирования и переносом центра; 2) движение по градиенту.


< я t" ■< м м в н ■< а S3 л ч в н о и < S3 е в S3 а ч
  и
 
  я
св и Я w в- в Е 1 |8 f
  к >&
О и О


Таблица 11.2 Матрица планирования и результаты опытов
Уровень   *    
Основной 0,7  
интервал варьиро­ 0,2  
вания        
Верхний уровень 0,9  
Нижний уровень 0,5  
Опыты Код фооанные значения факторов
       
  ж, ж, ЗС3 V
+1 +1 +1 46,80
+1 —1 +1 20,47
-1 —1 +1 16,80
-1 —1 —1 5,08
+1 +1 —1 24,15
+1 —1 —1 8,89
-1 +1 —1 16,63
-1 +1 +1 46,45

 

Изменение интервалов варьирования факторов и попытка получения адекватной модели — в данной ситуации вполне приемлемое решение. Ин­тервалы варьирования нужно изменить по факторам х2 и х3. Изменение ин­тервалов можно дополнить перенесением центра эксперимента в условия опытов 1 или 8, давших лучшие результаты.

Таким образом, это решение требует реализации еще восьми опытов.

Проанализируем второе вполне возможное решение. Три эффекта взаимо­действия (613, Ьаз, 6Ш) оказались значимыми, так что постановка новой серии опытов с уменьшением интервалов варьирования представляется разумным решением. Но в то же время линейные эффекты не смешаны с эффектами взаимодействия, и их вклад в уравнение регрессии значительно превышает вклад взаимодействий. Напомним, что опыты дороги. Поэтому решение о про­ведении двух-трех опытов крутого восхождения более всего в данной ситуа­ции соответствует цели достижения максимального выхода с минималь­ными затратами, хотя и существует риск не получить улучшения резуль­татов.

При выполнении этой работы исследователи выбрали движение но гра­диенту и улучшили результаты в два раза (см. гл. 12).

Особый случай возникает при использовании насыщенных пла­нов. При значимости всех коэффициентов регрессии ничего нельзя сказать об адекватности или неадекватности модели. Движение по градиенту в такой ситуации показывает правильность предпо­ложения, что коэффициенты регрессии являются оценками для линейных эффектов.

Остановимся теперь на задаче построения интерполяционной формулы.

14.3. Построение интерполяционной формулы.

Линейная модель неадекватна

Первое, что следует сделать при решении этой задачи,—вклю­чить в уравнение эффекты взаимодействия. Конечно, такое реше­ние возможно, если был применен ненасыщенный план. После введения эффектов взаимодействия может не хватать степеней сво­боды и потребуется реализация еще двух-трех опытов внутри об­ласти эксперимента для проверки гипотезы адекватности.

Все остальные способы построения интерполяционной формулы связаны с необходимостью проведения новых опытов. Один из них — достройка плана. Используются все те же приемы, что и при устра­нении незначимости коэффициентов регрессии (стр. 196): метод «перевала», достройка до полного факторного эксперимента, до дробной реплики, для которой ранее смешанные эффекты стано­вятся «чистыми», достройка до плана второго порядка.

Рис. 30. Принятие решений в задаче построения интерполяционной формулы; линейная модель неадекватна

 

Еще один, хотя и не очень распространенный прием,— преоб­разование зависимых и независимых переменных, о котором упо­миналось в гл. 2. Однако его подробное рассмотрение выходит за рамки нашей книги.

Наконец, если не удалось все-таки получить адекватную модель, то остается разбить область эксперимента на несколько подоблас­тей и описать отдельно каждую из них. Это требует уменьшения интервалов варьирования факторов.

Приведем блок-схему принятия решений в задаче построения интерполяционной формулы для случая, когда линейная модель неадекватна (рис. 30). Если линейная модель адекватна, то за­дача решена.

Пример 6. В качестве факторов при построении математической модели ящичного экстрактора были выбраны: хх — диаметр турбинки, мм; х2 — скорость вращения турбинки, об/мин; х3 —температура, °С; ^ — концентра­ция свободной-кислоты в водном растворе, гзкв/л; хь — высота слоя жидкости в ячейке, мм; хв — соотношение фаз в эмульсии.

Параметр оптимизации — продолжительность полного расслаивания в мин. Условия, матрица планирования и результаты опытов приведены в табл. 11.3. Использована 1/4-реплика от полного факторного эксперимента 26. Линейное уравнение регрессии оказалось неадекватным. Затем были введены три несмешанных между собой эффекта взаимодействия факторов, имеющих наибольшую абсолютную величину

0=12,16+ 0,53*! f 0,53*2 —l,3fe*s — 3,22Ж4+ 1,44*5 — 0,62зс6 — — 0,84*j*4 — 0,50х1хв — 0,78*2*4,

Это уравнение адекватно описывает процесс S|^=0,39. Рассчитанное зна­чение FgKclI=2,A при табличном значении F =2,7. Уравнение было исполь­зовано при проектировании промышленного аппарата.

Вот один из возможных приемов построения интерполяционном модели.

11.4. Резюме

Перевод модели с абстрактного математического языка на язык экспериментатора мы назвали интерпретацией модели. Интерпретация — сложный процесс, который проводится в не­сколько этапов. Он включает оценку величины и направления вли­яния отдельных факторов и их взаимодействий, сопоставление влияния совокупности факторов, проверку правильности априор­ных представлений и в некоторых случаях проверку и выдвиже­ние гипотез о механизме процесса.

Сочетание возможных действий с различными эксперименталь­ными ситуациями приводит к десяткам тысяч возможных решений. Поэтому обсуждаются только «типичные» решения. Ситуации разли­чаются по адекватности и неадекватности модели, значимости и незначимости коэффициентов регрессии, положению оптимума.

Для линейной адекватной модели со значимыми коэффициен-

Таблица 11.3 Матрица планирования и результаты опытов
Уровень X!   Хд Xi Хъ Д7д  
Основной 0,40 0,8115  
интервал варьи­ 0,29 0,0975  
рования            
Верхний 0,69 0,909  
Нижний 0,11 0,714  
Опыты Кодированное значение факторов
             
  ж, ж2 Жз Ж4 Ж6 Же V
—1 +1 +1 +1 —1 —1 7,00
—1 —1 -1 —1 +1 —1 16,50
—1 -1 —1 +1 —1 —1 9,50
-1 —1 +1 +1 +1 +1 9,00
+1 +1 +1 +1 +1 +1 7,75
+1 —1 -1 +1 +1 +1 10,75
—1 +1 —1 +1 +1 +1 11,50
+1 -1 —1 —1 -1 +1 13,25
+1 +1 -1 +1 —1 —1 8,50
—1 +1 +1   +1 —1 14,00
И —1 —1 +1 —1 —1 +1 9,25
+1 —1 +1 —1 +1 —1 17,25
+1 +1 +1 —1 —1 +1 14,50
+1 +1 —1 —1 +1 —1 22,00
—1 +1 -1 —1 —1 +1 16,25
+1 -1 +1 +1 —1 —1 7,50

 

тами регрессии возможны: движение по градиенту, план второго порядка, окончание исследования. Если часть коэффициентов ре­грессии незначима, то возможен выбор одного из решений, позво­ляющих получать коэффициенты регрессии значимыми: измене­ние интервалов варьирования, перенос центра плана, отсеивание незначимых факторов, параллельные опыты, достройка плана. Кроме того, остается движение по градиенту, а если область оп­тимума близка, то реализация плана второго порядка или окон­чание исследования.

Наконец, если все коэффициенты незначимы, то выбираются решения по реализации плана второго порядка или окончанию исследования (область оптимума близка) либо решения, позволя­ющие получать значимые коэффициенты регрессии (область опти­мума далека и неопределенная ситуация).


Линейная модель неадекватна. Если область оптимума близка, то исследование либо заканчивается, либо реализуется план вто­рого порядка. Такие решения, как изменение интервалов варьиро­вания, перенос цоптра плана, достройка плапа, двпжепио по гра­диенту, применяются при любом положении оптимума. Возможно включение в модель эффектов взаимодействия факторов и движение с помощью неполного полинома второго порядка, а также оценка квадратичных эффектов для получения информации о кривизне поверхности отклика перед движением по градиенту.

Наконец, если поставлена задача построения интерполяцион­ной формулы, то на получении адекватной модели исследование заканчивается, а в случае неадекватной модели принимается одно из следующих решений: включение в модель эффектов взаимо­действия, достройка плана, преобразование переменных, измене­ние интервалов варьирования.

Литература

1. В. В. Налимов, II. А. Чернова. Статистические методы планирования эк­стремальных экспериментов. М., «Наука», 1965.

2. Н. С. Иванов, Е. Н. Марина, Д. Ф. Филъберт и др. Применение мате­матической статистики при исследовании процесса формования и вытя­гивания полипропиленового волокна. В сб. «Карбоцепные волокна». М., Химия, 1966.


Глава двенадцатая

КРУТОЕ ВОСХОЖДЕНИЕ ПО ПОВЕРХНОСТИ ОТКЛИКА

Куда ведешь, тронинка милая?

Из песий

Решения, которые обсуждались в предыдущей главе, направ­лены на то, чтобы обеспечить эффективное движение по градиенту. Давайте посмотрим, как па практике осуществить это движение.

12.1. Движение по градиенту

Посмотрите на рис. 31. На нем изображены кривые равного выхода поверхности отклика для двух независимых переменных. Они подобны линиям равной высоты на географических картах. Поверхность отклика имеет вид холма с вершиной в точке «О». Если попытаться попасть в окрестность этой точки из точки А с помощью одного из вариантов однофакторного эксперимента, то мы сначала должны стабилизировать первый фактор, например Xj, и изменять в направлении АС второй фактор до тех пор, пока увеличивается выход. За точкой С выход падает, и поэтому в ней сыбилизируем х2 и изменяем х1 в направлении CD по такому же правилу и т. д.

Не кажется ли вам, что путь к вершине довольно извилист? Он сыновится еще более трудоемким при возрастании числа незави­симых переменных. Наиболее короткий путь к вершине — направ­ление градиента функции отклийа. На рис. 31 это направление ЛВ, перпендикулярное линиям уровня. Градиент непрерывной од­нозна



Последнее изменение этой страницы: 2016-07-23

headinsider.info. Все права принадлежат авторам данных материалов.