Главная

Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Методика розкладання матриці на добуток двох трикутних матриць.


Квадратну матрицю можна розкласти на дві трикутні (квадратні, в яких елементи, що розташовані вище (нижче) головної діагоналі, дорівнюють нулю) і це розкладення буде єдиним, якщо діагональним елементам однієї з трикутних матриць заздалегідь дати не рівні нулю значення (наприклад, такі, що дорівнюють одиницям).

Нехай , де Т1 і Т2 – трикутні матриці в одній з яких діагональними елементами є одиниці. Інші елементи матриць Т1 і Т2 знаходять наступним чином:

а) перемножують матриці Т1 і Т2 (їх елементи – літерні позначення);

б) прирівнюють відповідні елементи матриці-добутку Т1Т2 елементам матриці А – одержують рівняння: одночленні, двочленні і т. д.;

в) розв'язують одержані рівняння – спочатку одночленні, далі двочленні і т.д.

 

3.2.2 Ітераційні методи розв'язування СЛАР

 

Розглядаються три ітераційних метода: метод простої ітерації (послі-

довних наближень), метод Зейделя і метод найшвидшого спуску.

 

Метод простої ітерації.

В загальному випадку задана СЛАР (3.2), яка записана в розгорнутому матричному вигляді (3.5). Якщо припустити, що діагональні елементи матриці А (і = 1, 2, …, n), то можна перевести систему до канонічного виду і потім виразити х1 через перше рівняння системи, х2 – через друге рівняння і т. д. У результаті одержимо систему, яка еквівалентна системі (3.2):

(3.9)

 

Позначимо , де і, j = 1, 2, …, n. Тоді система (3.9) запишеться так:

 

(3.10)

 

Систему (3.10) називають приведеною до нормального виду. Ця система в матричній формі запису:

 

або

(3.11)

 

Після нормалізації системи перевіряється умова збіжності ітераційного процесу. Ознакою збіжності є умова того, що будь-яка з норм матриці менша від одиниці, тобто

 

 

де q – норма матриці , яка може бути визначена за однією із формул:

 

, .

 

Алгоритм методу простої ітерації наступний:

- за нульове наближення приймається стовпець вільних членів:

 

– нульове наближення,

 

далі будуються матриці-стовпці наступних наближень:

 

– перше наближення;

– друге наближення

і т.д.

Взагалі, будь-яке (k+1)-е наближення обчислюють за формулою

 

(k = 0, 1, …, n). (3.12)

 

Ітераційний процес продовжується доти, поки не буде виконано умову

 

 

де – задана абсолютна похибка.

В методі ітерацій заміна значень всіх змінних проводиться одночасно (одночасне зміщення).

 

Приклад 1. Розрахувати струми в гілках електричного кола (рис. 3.1) методом простої ітерації.

У матричному виді система (1.1) запишеться наступним чином (за даними параметрів схеми рис. 1.1):

 

або (3.13)

 

Перед приведенням системи до нормального виду необхідно за допомогою еквівалентних перетворювань зробити систему (3.13) придатну ітераційному процесу. Для цього слід за допомогою перестановки і алгебраїчних дій з рівняннями системи добитися, щоб елементи головної діагоналі матриці мали максимальне за модулем значення. Тобто:

- друге рівняння запишеться замість першого;

- з першого рівняння, домноженого на 10 віднімається третє рівняння і результат записується замість другого рівняння;

- третє рівняння залишається без змін.

В результаті система (1.13) набуває виду:

 

(3.14)

 

Для переводу до нормального виду кожне рівняння системи треба розділити на відповідні елементи, що розташовані на головної діагоналі.

Для СЛАР (3.14), що еквівалентна системі (3.1), нормальний вид наступний:

 

(3.15)

 

Для застосування методу простої ітерації матрична система переписується у формі (3.11), тобто:

 

.(3.16)

 

З (3.16) слідує, що і , тобто умова збіжності ітераційного процесу (норма матриці менша від одиниці) виконується як по рядках, так і по стовпцях.

 

Нульове наближення, що дорівнює з (1.12): .

 

Задається абсолютна похибка розрахунку

 

Перше наближення згідно ітераційній формулі методу (3.12):

 

 

Знаходиться друге наближення:

 

 

Третє наближення:

 

 

Аналогічно знаходяться наступні наближення розв'язки задачі:

 

 

Перевірка умови закінчення ітераційного процесу після 14-го кроку:

 

 

За чотирнадцять кроків ітераційний процес закінчився з заданою точністю.

 

Струм в гілках схеми (рис. 1.1) становить:

 

Перевірка у вузлі „а” (рис. 1.1) за першим законом Кірхгофа виконується з точністю до (0,269 + 1,579) – 1,842 = 0,006 А.

 

Метод Зейделя.

 

В методі Зейделя уточнене значення х1 зразу ж використовується для обчислення х2, далі нові значення х1 і х2 використовуються для обчислення х3 і т. д.

Це невелике удосконалення ітераційної процедури дозволяє суттєво збільшити швидкість збіжності.

Будь-яке (k+1)-е наближення в методі Зейделя будується за наступними формулами:

 

(3.17)

 

де k = 0, 1, 2, …, n.

Ітерації закінчуються, коли із заданою точністю одержано однакові значення невідомих у двох ітераціях підряд.

Умови збіжності ітераційного процесу подібні умовам для простої ітерації, тобто ітераційний процес і його збіжність залежать від величини елементів матриці наступним чином: якщо найбільша сума модулів елементів рядків або найбільша сума модулів елементів стовпців менше одиниці, то процес ітерації для даної системи збігається до єдиного розв'язку незалежно від вибору початкового наближення.

Отже, умови збіжності можна записати так:

 

(i = 1, 2, …, n) або (j = 1, 2, …, n).

 

Як і в методі простої ітерації треба привести СЛАР до виду, який придатний для ітерацій. Для виконання умов збіжності ітераційного процесу достатньо, щоб значення елементів матриці при були невеликими з абсолютної величини. Це рівносильно тому, що якщо для СЛАР модулі діагональних коефіцієнтів кожного рівняння системи більше суми модулів всіх інших коефіцієнтів (без врахування вільних членів), то ітераційні процеси для цієї системи збігаються.

Окремо, на прикладі показується, як виконується еквівалентне перетворення вихідної СЛАР і отримується нормалізована система в загальному випадку.

Вихідна СЛАР:

 

 

Виконуються наступні дії:

а) в заданій системі виділяються рівняння з коефіцієнтами, модулі яких більші за суму модулів інших коефіцієнтів рівняння. Кожне виділене рівняння записується в таку строку нової СЛАР, щоб найбільший за модулем коефіцієнт був діагональним. В рівнянні (Q) виконується таке: . Рівняння (Q) приймається за третє рівняння нової системи.

б) інші рівняння нової еквівалентної системи одержуються шляхом складання лінійних незалежних між собою комбінацій. Так, за перше рівняння можна прийняти таку лінійну комбінацію (P)+(R), тоді:

 

.

За друге рівняння нової системи – таку комбінацію: (2Q)+(R)-(P), тобто

 

.

В результаті одержано перетворену СЛАР яка еквівалентна вихідній і задовольняє умовам збіжності ітераційного процесу:

 

Для перевірки цього твердження еквівалентна система приводиться до нормального виду і перевіряється, чи задовольняється хоч одна з умов збіжності.

При цьому використовується такий спосіб: записуються коефіцієнти при невідомих x1, x2, x3 у відповідних рівняннях системи як m·x, де m – число, що близьке до коефіцієнта при відповідному невідомому і на яке легко розділити коефіцієнти при невідомих і вільні члени.

Наприклад, приймається m = 10. Тоді система, що приводиться до нормального виду, перепишеться так:

або

Матриця і вектор приймають вид

, .

Суми модулів елементів рядків матриці :

0,24 + 0,05 + 0,24 = 0,53;

0,22 + 0,09 + 0,44 = 0,75;

0,18 + 0,25 + 0,54 = 0,97.

Більша із сум 0,97 < 1. Отже, одна з умов збіжності ітераційного процесу виконується. І хоч друга умова не виконується (більша сума модулів елементів стовпців 0,24 + 0,44 + 0,54 = 1,22 > 1) процес ітерації для системи, що розглядається, збігається до єдиного розв‘язку.

Приклад 2. Розрахувати струми в гілках електричного кола (рис. 3.1) методом Зейделя.

Розв'язується СЛАР (3.13) з прикладу 1.

 

 

Після еквівалентних перетворювань система має вид (3.14)

 

 

Надалі еквівалентна СЛАР приводиться до нормального виду, що придатний до проведення ітерацій, за допомогою коефіцієнта m= 20, аналогічно попередньому прикладу еквівалентних перетворювань, але з урахуванням матричної форми запису системи рівнянь.

 

 

(3.18)

 

З (3.18) видно, що

 

,

і умова збіжності ітераційного процесу виконується по рядках при .

Нульове наближення, що дорівнює з (3.17):

 

Задається абсолютна похибка розрахунку

 

Перше наближення згідно ітераційних формул методу (3.17):

 

Друге наближення:

 

Третє наближення:

 

Аналогічно виконуються кроки наступних ітерацій:

 

 

Перевірка умови закінчення ітераційного процесу після 9-го кроку:

 

 

За дев'ять кроків ітераційний процес закінчився з заданою точністю.

 

Струм в гілках схеми (рис. 1.1) за методом Зейделя становить:

 

Перевірка у вузлі „а” (рис. 1.1) за першим законом Кірхгофа виконується з точністю до |(0,249 + 1,566) – 1,832| = 0,017 А.

 

Лекція 4. МЕТОДИ РОЗВ‘ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ

 

Метод ітерацій

 

На відміну від систем лінійних рівнянь не існує прямих методів розв‘язання систем нелінійних рівнянь (СНР) загального виду. Для наближеного їх розв‘язання використовують ітераційні методи. Найбільш поширеними з них є метод ітерацій іметод Ньютона.

Метод ітерацій для СНР по суті є узагальненням методу ітерацій для одного рівняння.

Нехай для обчислення невідомих х1, х2, …, хn необхідно розв‘язати систему

n нелінійних рівнянь

(4.1)

 

Зобразимо систему (4.1) у вигляді

 

(4.2)

 

Функції в (4.2) поблизу шуканого розв‘язку мають задовольняти умові збіжності методу ітерацій, яка записується наступнім чином

 

, або 2, …, або n) (4.3)

 

(фактично узагальнена умова для одного рівняння).

Задаються початковим наближенням , і = 1, 2, …, n.

Взагалі, необхідно, щоб початкове наближення було достатньо близько до шуканого розв‘язку. Вибір наближення провадиться в залежності від конкретних умов, наприклад, з фізичних міркувань. Якщо розв‘язується система із двох рівнянь, то за , можна прийняти координати точки перетину кривих і на площині .

Наступні наближення визначають за ітераційними формулами

 

k = 0, 1, 2, … (4.4)

 

Ітераційний процес завершується при виконанні умови

 

(4.5)

 

де ε – задана абсолютна похибка розв‘язку.

Одним із суттєвих недоліків методу ітерацій є складність вибору функцій такими, що задовольняють достатній умові збіжності ітераційного процесу. Для системи із двох рівнянь можна рекомендувати наступний засіб (А).

Записують і у вигляді

 

;

 

,

 

де .

Коефіцієнти визначають із умов:

 

(4.6)

Умова збіжності при цьому виконується, якщо прийняті достатньо близько до шуканого розв‘язку.

Для СНР, як і для СЛАР, можливе застосування удосконалення Зейделя, тобто використання раніше визначених невідомих при обчисленні наступних. Власне, для СНР методом ітерацій і називають метод Зейделя.

 

Метод Ньютона

 

Цей метод має набагато швидкішу збіжність, чим метод ітерацій.

В основі методу Ньютона для СНР лежить використання розкладення функції в ряд Тейлора і відкидання членів, що містять похідні порядку вище першого, тобто із рівнянь виділяють лінійні частини, які є головними при малих прирощеннях аргументів.

Розв‘язання СНР можна записати у вигляді

, (4.7)

 

де – обернена матриця Якобі

.

 

Для існування єдиного розв‘язку СНР визначник матриці W (його називають якобіаном) не має дорівнювати нулю на кожній ітерації.

Частинні похідні в W можна замінити їх наближеними кінцево-різничними значеннями

,

 

де hi – мале прирощення хі, наприклад, .

Ітерації завершуються, коли всі прирощення стають малими за величиною

 

.

В методі Ньютона початкове наближення параметрів обирається так же, як і в методі ітерацій для забезпечення збіжності ітераційного процесу.

Для системи двох нелінійних рівнянь, де прийняті такі позначення: х1 = х і х2 = у,

(4.8)

 

ітераційні формули методу Ньютона в компактній формі мають вигляд:

 

, , (4.9)

 

де визначники J, J1, J2 являють собою

 

, , .

 

Лекція 5. НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ

 

Способи завдання функцій

 

З курсу математичного аналізу відомі три способи завдання функціональних залежностей: аналітичний, графічний, табличний.

Найбільш зручним способом завдання функціональної залежності є аналітичний, тому що він прямо вказує дії і послідовність їх виконання над незалежною змінною х для одержання відповідного значення величини y. Позитивна властивість способу полягає в можливості одержувати значення y для будь-якого фіксованого аргументу х із будь-якою точністю.

Графіком функції є геометричне місце точок площини х0у, координати яких задовольняють рівнянню .

Табличний спосіб завдання функцій частіше всього виникає в результаті експерименту і має перевагу в тому, що для кожного значення незалежної змінної, що уміщене в таблицю, можна без усяких вимірів і обчислень знайти відповідне значення функції. Недолік табличного способу полягає в тому, що не можна задати всю функцію безперервно – завжди будуть такі значення незалежної змінної, котрих нема в таблиці. Крім того виникають труднощі дослідження характерних особливостей заданої функції (визначення похідних і т. і.).

 



Последнее изменение этой страницы: 2016-07-23

headinsider.info. Все права принадлежат авторам данных материалов.