Главная

Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Лекція 6. ЧИСЕЛЬНЕ ІНТЕГРУВАННЯ І ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ


 

Чисельне інтегрування

 

6.1.1 Вступні зауваження

Нехай на відрізку задана функція (рис.6.1). Розіб‘ємо відрізок на елементарних відрізків , причому , . На кожному

 

 

Рисунок 6.1 – До поняття визначеного інтеграла

 

відрізку оберемо довільну точку і знайдемо добуток значення функції в цій точці на довжину елементарного відрізка :

.

 

Складемо суму всіх таких добутків – інтегральну суму

. (6.1)

Визначеним інтегралом від функції на відрізку називають межу інтегральної суми при необмеженому збільшенні кількості точок розбиття; при цьому довжина найбільшого з елементарних відрізків наближається до нуля:

. (6.2)

Якщо функція неперервна на , то межа інтегральної суми існує і не залежить ні від способу розбиття відрізка на елементарні відрізки, ні від вибору точок .

Якщо підінтегральна функція задана в аналітичному виді, визначений інтеграл можна обчислити з допомогою невизначеного інтеграла (вірніше першообразної). Визначений інтеграл дорівнює прирощенню першообразної F(x) на відрізку інтегрування і обчислюється за формулою Ньютона-Лейбниця

. (6.3)

На практиці формулою (6.3) часто не можна скористуватися з двох причин:

– вид f(x) не допускає безпосереднього інтегрування, тобто першообразну не можна виразити в елементарних функціях;

– функція f(x) задана у вигляді таблиці.

В цих випадках застосовуються методи чисельного інтегрування. Вони засновані на апроксимації підінтегральної функції деякими більш простими виразами, наприклад, інтерполяційними многочленами, що дозволяє наближено замінити визначений інтеграл інтегральною сумою. В залежності від способу її обчислення одержують різні формули чисельного інтегрування, так звані квадратурні формули (формули прямокутників, трапецій, парабол і інші).

 

6.2 Метод прямокутників і трапецій

Метод прямокутників (найпростіший) безпосередньо використовує заміну визначеного інтеграла інтегральною сумою. За точки ri можуть бути обрані ліві (ri = xi-1) або праві(ri = xi) границі елементарних відрізків. При позначенні

f(xi) = yi, Δxi = hi

одержимо наступні формули метода прямокутників відповідно до указаних випадків (ліві, праві):

(6.4)

(6.5)

 

Широко поширеним і більш точним є вид формули прямокутників, що використовує значення функції в середніх точках елементарних відрізків (в півцілих вузлах)

(6.6)

де xi-1/2 = (xi-1+xi)/2 = xi-1+hi/2, i = 1,2,…,n.

Найчастіше під методом прямокутників розуміють алгоритм (6.6). Його ще називають методом середніх.

Метод трапеційвикористовує лінійну інтерполяцію, тобто графік y = f(x) зображується у вигляді ламаної, що з‘єднує точки (xi, yi). В цьому випадку площа всієї фігури складається з площ елементарних прямолінійних трапецій (див. рис.6.2).

 

 

Рисунок 6.2 – До методу трапецій

 

Площа кожної такої трапеції дорівнює

і = 1,2, ..., n.

Формула трапецій для чисельного інтегрування має вигляд

 

(6.7)

 

Частным случаем рассмотренных формул является их применение при численном интегрировании с постоянным шагом hi = h = const. Формулы (6.6) и (6.7) принимают вид:

 

(6.8)

(6.9)

На основании формул прямоугольников и трапеций можно получить уточненные значения интегралов, если учесть характер погрешностей этих формул.

Погрешности:

- для метода средних прямоугольников

- для метода левых и правых прямоугольников

- для формулы трапеций

 

где - максимальное значение второй производной на интервале [a, b] (a≤ xj ≤ b).

Уточненные значения интегралов получаются, если к выражениям (6.8) и (6.9) добавить соответствующие погрешности R1 и R2. Величины R1 и R2 в выражениях для вычисления интеграла называют остаточными членами.

Погрешность численного интегрирования зависит от шага (h) разбиения, и, следовательно, уменьшая его можно добиться большей точности. Однако, если функция задана в виде таблицы, то приходится ограничиваться данным множеством точек.

Повышение точности интегрирования может быть достигнуто за счет повышения степени используемых интерполяционных многочленов. Например, использование квадратичной интерполяции.

 

6.3 Метод Симпсона (парабол)

 

Разобьем отрезок интегрирования [a, b] на четное число n равных частей с шагом h. На каждом отрезке [х0, х2], [х2, х4],…, [хi-1, х i+1], [хn-2, х n] подинтегральную функцию f(x) заменим интерполяционным многочленом второй степени:

 

.

 

 

Рисунок 6.3 – К методу парабол

 

Коэффициенты этих квадратных трехчленов ( ) могут быть найдены из условия равенства многочлена в точках хi, соответствующим табличным данным yi.

В качестве функции φi(x) можно принять интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени, проходящий через точки с координатами (хi-1, у i-1), (хi, уi ) и (хi+1, у i+1)

 

Элементарная площадь Si вычисляется с помощью определенного интеграла. Учитывая, что , получим:

 

 

+ .

 

Проведя такие вычисления для каждого элементарного отрезка [хi-1, хi+1], просуммируем полученные выражения. Результат суммирования записывается следующим образом:

 

.

Выражения для S принимается в качестве значения определенного интеграла (формула Симпсона):

 

(6.10)

 

Погрешность метода Симпсона определяется по формуле

 

 

6.4 Обобщенная формула численного интегрирования Ньютона Котеса

 

Формула Симпсона является частным случаем обобщенной формулы численного интегрирования Ньютона-Котеса, которая имеет вид:

 

(6.11)

 

При различных n получают различные квадратурные формулы Ньютона – Котеса. Коэффициенты Hi, называемые коэффициентами Котеса, определяются из соотношения:

 

, n > 1, i = 1, 2,…, n; 0! = 1. (6.12)

 

Эти коэффициенты обладают следующими полезными при вычислении свойствами:

1. Симметричные коэффициенты (первый и n-ый, второй и (n – 1)-й и т.д.) равны между собой:

 

Hi = Hn+1-i.

 

2. Сумма всех коэффициентов равна единице

 

 

Получим коэффициенты квадратурной формулы при n = 3. Применяя формулу (6.12), получим:

 

 

 

Далее, используя свойства коэффициентов Котеса, найдем

 

H3 = H1 = 1/6, H2 = 1 – (H1 + H3) = 1 – (1/6+1/6) = 2/3.

 

В табл. 6.1 приведены значения коэффициентов Котеса для n = 2, 3, 4, 5, 6.

 

Таблица 6.1 - Коэффициенты Котеса

n i
1/2 1/2        
1/6 4/6 1/6      
1/8 3/8 3/8 1/8    
7/90 32/90 12/90 32/90 7/90  
19/288 75/288 50/288 50/288 75/288 19/288

 

6.5 Практические способы оценки погрешности интегрирования

 

Погрешность интегрирования можно оценить:

- по остаточному члену;

- по правилу Рунге.

 

6.5.1 По остаточному члену

 

Если при вычислении остаточного члена возникают трудности с нахождением максимума производной (подинтегральная функция сложна или задана таблично), то возможно применение приближенных формул, выраженных через конечные разности:

- для левых и правых прямоугольников

 

 

- для формулы трапеций

 

 

- для формулы Симпсона

 

 

Для определения максимальных по модулю конечных разностей составляется (по табличной функции) таблица конечных разностей нужного порядка.

 

6.5.2 По правилу Рунге

 

Обозначим через Ih и Ih/2 приближенные значения интеграла, определенные с шагом h и h/2. Тогда абсолютная погрешность интегрирования приближенно оценивается по формуле (правило Рунге):

 

,

 

где k – порядок остаточного члена, используемой формулы. Например, для формулы трапеций k = 2, для формулы Симпсона k = 4. То есть k – это порядок производной.

 

6.6 Выбор шага интегрирования

 

Задача заключается в выборе шага h, который обеспечивает заданную точность ε вычисления интеграла по выбранной формуле.

 

6.6.1 Выбор шага по остаточному члену

 

Используя формулу соответствующего остаточного члена R, выбирают такой шаг, чтобы обеспечивалось неравенство:

 

 

Затем с полученным шагом вычисляют интеграл по квадратурной формуле. Вычисления следует производить с таким числом цифр, чтобы погрешность округления не превышала ε.

 

6.6.2 Метод последовательного удвоения числа шагов

 

Вычисляют интеграл по выбранной формуле дважды: сначала с шагом h (Ih), затем с шагом h/2 ( Ih/2), то есть удваивают число вычислений n. Если

 

,

 

0то полагают J ≈ Jh/2. Если условие не выполняется, то расчет повторяют с шагом h/4. В качестве начального шага иногда можно рекомендовать число, близкое к .

 

Пример

Рассчитать методом Симпсона определенный интеграл от функции f (x) = (x +1)·sin (x) на интервале [1,6; 2,4]. Принять ε = 0,001.

Выбираем начальный шаг с учетом требований о четности числа точек разбиения. Для формулы Симпсона k = 4, поэтому .

Вычисляем количество шагов

 

 

Округляем n в большую сторону до четного значения: n = 6.

Составим таблицу значений подинтегральной функции yi = f (xi) с шагом

 

 

Таблица 6.2 – Значения функции f (x) = (x +1)·sin (x) при n = 6.

i
xi 1,6 1,73 1,87 1,99 2,13 2,27 2,4
yi 2,5989 2,6973 2,7421 2,7279 2,6506 2,5074 2,2966

 

;

 

Удвоим число точек: n = 12 и шаг Новые значения функции приведены в табл. 6.3.

 

Таблица 6.3 – Значения функции f (x) = (x +1)·sin (x) при n = 12.

i
xi 1,6 1,67 1,73 1,8 1,87 1,93 2,0
yi 2,5989 2,6544 2,6973 2,7268 2,7421 2,7427 2,7279

 

 

Продолжение табл. 6.3

i
xi 2,07 2,13 2,2 2,27 2,33 2,4
yi 2,6973 2,6506 2,5873 2,5074 2,4105 2,2966

 

 

Оценим погрешность по правилу Рунге

 

 

Пример

Рассчитать методом Ньютона-Котеса определенный интеграл , выбрав n = 4.

Для n = 4 формула Ньютона-Котеса имеет вид

 

.

 

Согласно табл. 6.1 коэффициенты Котеса равны: H0 = 7/90; H1 = 32/90 = 16/45; H2 = 12/90 = 2/15; H3 = H1 = 16/45; H4 = H0 = 7/90.

 

Определяем шаг интегрирования:

 

Вычисляем значения функции (см. табл. 6.4).

 

Таблица 6.4 – Значения функции

i
xi 0,4 0,8 1,2 1,6
yi 1,0 0,659 0,393 0,174
Коэф. 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90

 

Подставив коэффициенты в формулу для вычисления интеграла, получим:

 

.

 

Лекция 7. РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ

Вводные замечания

 

Инженеру-исследователю в своей деятельности постоянно приходится сталкиваться с дифференциальными уравнениями, так как большая часть законов физики при их математическом моделировании сводится к дифференциальным уравнениям. В связи с этим решение дифуравнений является одной из важнейших математических задач.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, в котором искомой является функция, а уравнение задает связь между значениями независимых переменных, искомой функцией и ее производными.

В зависимости от числа независимых переменных ДУ делятся на две различные группы: обыкновенные ДУ, содержащие одну независимую переменную, и уравнения в частных производных, содержащие несколько независимых переменных.

Рассмотрим обыкновенные ДУ.

Общий вид ОДУ

 

F (x, y, y, …, y(n)) = 0, (7.1)

 

где x – независимая переменная;

y – функция;

y,…, y(n) – производные;

n – наивысший порядок производной, порядок ДУ.

В ряде случаев из общей записи ДУ (7.1) удается выразить старшую производную в явном виде, например,

 

y = f (x, y, y ).

 

Такая форма записи называется уравнением, разрешенным относительно старшей производной.

Решением ДУ (7.1) называется всякая функция y = φ(x), которая после ее подстановки в уравнение превращает его в тождество.

Дифференциальное уравнение, как правило, имеет бесконечное множество решений, зависящее от некоторого количества (определяемого порядком ДУ) произвольных постоянных С1, С2, …, Сn.

Общее решение ОДУ (7.1) имеет вид

 

у = φ(x, С1, С2, …, Сn ).

 

Частное решение ОДУ получается из общего, если произвольным постоянным придать определенные значения, например, для уравнения первого порядка:

- общее решение у = φ(x, С);

- частное решение, если С = С0 (определенное значение) у = φ(x, С0).

Исследователя обычно интересует частное решение. Чтобы его получить, необходимо учитывать не только особенности изменения явления, описываемого ДУ (7.1), но и дополнительные условия, которые характеризуют это явление. Количество дополнительных условий должно быть равно количеству произвольных постоянных, то есть порядку n.

Дифференциальное уравнение вместе с дополнительными условиями называется задачей. Если х является временем (что характерно для эволюционных или динамических процессов), то необходимо учесть состояние в начальный момент времени х0, а если х – координата, которая может изменяться от а до b (например, прогиб балки под действием постоянной силы), то необходимо учесть состояние системы (балки) на ее границах – в точках а и b.

Таким образом, возможно существование двух типов дополнительных условий и соответственно двух типов задач:

1. Начальные условия (всего n условий) у(х0)= у0, …, Задача решения ОДУ (7.1) с начальными условиями, заданными в одной точке, называется задачей Коши.

2. Граничные (краевые) условия (всего n условий) у(а)= уа, …, у(b)= уb, …. Задача решения ОДУ (7.1) с граничными условиями называется краевой или двухточечной задачей.

 

7.2 Как решать ДУ

 

Целью решения ДУ является получение функции у = φ(x). Эта функция может быть задана графическим, аналитическим и табличным способом. Поэтому методы решения ДУ (7.1) делятся на графические, аналитические и численные.

Графические методы используются при качественном исследовании ДУ и состоят в построении интегральной кривой.

Аналитические методы дают решение уравнения в виде формулы и делятся на точные и приближенные.

Точные методы рассматриваются в вузовском курсе. Они дают точные решения, но могут быть использованы для узкого класса задач.

Приближенные аналитические методы дают функцию, являющуюся аппроксимацией точного решения. Для получения такой функции либо заменяют исходное ДУ близким к нему, но допускающим аналитическое решение, либо задаются видом решения.

Основной проблемой, возникающей при этом является проблема точности. Выход состоит в использовании идеи о разбиении области изменения независимой переменной х на малые отрезки и решении ДУ на каждом отрезке.

Этот подход иллюстрируем следующим рисунком.

1 – точное решение уравнения; 2 – аппроксимация решения линейной функцией для всей области; 3 – аппроксимация решения при разбиении области изменения х[a, b] на мелкие отрезки.

Видно, что замена линейной функции 2 кусочно-линейной функцией 3 значительно повышает точность решения.

Дальнейшее развитие рассматриваемой идеи привело к появлению численных методов решения ДУ, результатом которых является таблица значений функции в определенных точках (узлах).

 

7.3 Одношаговые методы решения задачи Коши

 

Задачу Коши можно сформулировать для ДУ первого порядка следующим образом.

Пусть дано ДУ y = f (x, y) c начальным условием y(x0) = y0. Требуется найти функцию y = f (x), удовлетворяющую как указанному уравнению, так и начальному условию.

Обычно численное решение этой задачи получают, вычисляя сначала значение производной в точке х0, а затем задавая малое приращение х и переходя к новой точке x1 = x0 + h. Положение новой точки определяется по наклону кривой, вычисленному с помощью ДУ.

Таким образом, график численного решения представляет собой последовательности коротких прямолинейных отрезков, которыми аппроксимируется истинная кривая y = f (x).

Сам численный метод определяет порядок действия при переходе от данной точки кривой к следующей.

В одношаговых методах для нахождения следующей точки на кривой y= f (x) требуется информация лишь об одном предыдущем шаге. К одношаговым относятся метод Эйлера и методы Рунге-Кутта.

 

7.3.1 Метод Эйлера (схема ломаных)

 

Является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Основан на разложении функции у в ряд Тейлора в окрестности точки х0:

 

y (x0 + h) = y(x0) + h y(x0) + 1/2 h2 y”(x0) + …

 

Если шаг интегрирования h мал, то члены ряда, содержащие h во второй и более высоких степенях, малы. Поэтому ими можно пренебречь. Тогда

 

y (x0 + h) = y(x0) + h y(x0).

 

Значение y(x0) находим из ДУ, подставив в него начальное условие.

Этот процесс можно продолжить, используя следующее соотношение

 

yi +1 = yi + h f (xi, yi), i = 0, 1, …, n – 1.

 

Графически метод представляется следующим образом

 

Погрешность этого метода пропорциональна шагу h.

Большая погрешность – главный недостаток этого метода. Точность метода Эйлера можно повысить, улучшив аппроксимацию производной. Это можно сделать, используя среднее значение производной в начале и конце интервала.

 

 

Пример 7.1.

 

Решить ДУ на интервале [0, 1] с шагом h = 0,25 методом Эйлера. Начальные условия: y(x0) = у0 = 0.

 

Решение выполняется по формуле yi +1 = yi + h f (xi, yi).

 

Первый шаг: i = 0, x0 = 0, y0 = 0

 

у0 +1=1 = y0 + h (2x0 y20 + х40) = 0 + 0,25·(2∙0 – 02 + 04) = 0.

 

Второй шаг: i = 1, x1 = x0 + h = 0 + 0,25 = 0,25, y1 = 0

 

у1 +1=2 = y1 + h (2x1 y21 + х41) = 0 + 0,25·(2∙0,25 – 02 + 0,254) = 0,126.

 

Третий шаг: i = 2, x2 = x1 + h = 0,25 + 0,25 = 0,5, y2 = 0,126

 

у2 +1=3 = y2 + h (2x2 y22 + х42) = 0,126 + 0,25·(2∙0,5 – 0,1262 + 0,54) = 0,3877.

 

Четвертый шаг: i = 3, x3 = x2 + h = 0,5 + 0,25 = 0,75, y3 = 0,3877

 

у3 +1=4 = y3 + h (2x3 y23 + х43) = 0,3877 + 0,25·(2∙0,75 – 0,38772 + 0,754) = 0,8042.

 

Метод Эйлера может быть применен к решению систем дифференциальных уравнений и ДУ высших порядков. Однако в последнем случае ДУ должны быть приведены к системе ДУ первого порядка.

Пусть задана система двух уравнений первого порядка

 

 

с начальными условиями у(х0) = у0, z(х0) = z0.

Приближенные значения у(хi) ≈ уi и z(хi) ≈ zi находятся по формулам

 

yi+1 = yi + Δ yi, zi+1 = zi + Δ zi,

 

где

 

Δ yi = hf1(xi, yi, zi), Δ zi = hf2(xi, yi, zi) i = 0, 1, 2, …

 

Пример 7.2.

 

Применяя метод Эйлера, решить систему ДУ при начальных условиях у(0) = 1,0000 z(0) = 1,0000 на отрезке [0, 0,6] с шагом h = 0,1. Вычисления вести с одним запасным знаком.

Покажем часть вычислений:

- первый шаг: i = 0, х0 = 0, y0 = 1,0000, z0 = 1,0000,

 

y0= (z0y0x0 = (1 – 1)·0 = 0; Δ y0 = h y0 = 0,1·0 = 0;

 

z0= (z0 + y0x0 = (1 + 1)·0 = 0; Δ z0 = h z0 = 0,1·0 = 0;

 

- второй шаг: i = 1, х1 = х0 + h = 0 + 0,1 = 0,1;

 

y1 = y0 + Δ y0 = 1,0000 + ·0 = 1,0000;

 

z1 = z0 + Δ z0 = 1,0000 + 0 = 1,0000;

 

y1= (z1y1x1 = (1 – 1)·0,1 = 0; Δ y1 = h y1 = 0,1·0 = 0;

 

z1= (z1 + y1x1 = (1 + 1)·0,1 = 0,2; Δ z1 = h z1 = 0,1·0,2 = 0,02;

 

- третий шаг: i = 2, х2 = х1 + h = 0,1 + 0,1 = 0,2;

 

y2 = y1 + Δ y1 = 1,0000 + 0 = 1,0000;

 

z2 = z1 + Δ z1 = 1,0000 + 0,02 = 1,02;

 

y2= (z2y2x2 = (1,02 – 1)·0,2 = 0,004; Δ y2 = h y2 = 0,1·0,004 = 0,0004;

 

z2= (z2 + y2x2 = (1,02 + 1)·0,2 = 0,404; Δ z2 = h z2 = 0,1·0,404 = 0,0404.

 

 

Решение на остальных шагах приведено в табл.7.1

 

Таблица 7.1 – Решение системы ДУ

i xi yi+1 = yi-1 yi-1 yi= (ziyixi Δ yi = yi·h zi+1 = zi-1 zi-1 zi= (zi + yixi Δ zi = zi·h
0,1 1,0000 1,0000
0,2 1,0000 1,0000 0,2000 0,0200
0,3 1,0000 0,004 0,0004 1,0200 0,4040 0,0404
0,4 1,0004 0,018 0,0018 1,0604 0,6182 0,0618
0,5 1,0022 0,048 0,0048 1,1222 0,8498 0,0850
0,6 1,0070 0,1001 0,0100 1,2072 1,01071 0,1107
0,7 1,0170     1,3179    

 

Пример 7.3.

 

Применяя метод Эйлера, составить на отрезке [1; 1,5] таблицу значений ДУ при начальных условиях у(1) = 0,77, у(1) = - 0,44 с шагом h = 0,1.

С помощью подстановки у = z, у’’ = z заменим данное уравнение системой уравнений

 

 

при начальных условиях у(1) = 0,77, z(1) = - 0,44

Результаты расчета приведены в табл. 7.2

Таблица 7.1 – Решение системы ДУ

i xi yi yi= z Δ yi = yi·h zi zi= - zi / xi - yi Δ zi = zi·h
1,0 0,77 -0,44 -0,044 -0,44 -0,33 -0,033
1,1 0,726 -0,473 -0,0473 -0,473 -0,296 -0,03
1,2 0,679 -0,503 -0,0503 -0,503 -0,26 -0,026
1,3 0,629 -0,529 -0,0529 -0,529 -0,222 -0,022
1,4 0,576 -0,551 -0,0551 -0,551 -0,183 -0,018
1,5 0,521          

 

7.3.2 Метод Эйлера Коши

 

Сначала вычисляется значение функции в следующей точке по методу Эйлера

 

которое затем используется для вычисления приближенного значения производной в конце интервала .

Вычислив среднее арифметическое между значениями производной (наклонами ломаных) в начале и конце интервала, найдем более точное значение уi+1 (формула Эйлера-Коши):

 

 

где хi+1 = хi + h.

Принцип, на котором основано улучшение метода Эйлера, можно пояснить и иначе – на основе использования разложения функции в ряд Тейлора. Точность повышается за счет того, что сохраняются в разложении члены, содержащие производные более высоких порядков, чем первый. Для улучшения метода Эйлера надо знать вторую производную. Ее можно аппроксимировать конечной разностью

 

 

Если ее подставить в ряд Тейлора, то результатом будет формула Эйлера-Коши.

 

Пример 7.4.

 

Решить ДУ на интервале [0, 1] с шагом h = 0,25 методом Эйлера - Коши. Начальные условия: y(x0) = у0 = 0.

Решение выполняется по формулам:

у*i +1 = yi + h f (xi, yi),

 

Первый шаг: i = 0, x0 = 0, y0 = 0

 

у*1 = y0 + h (2x0 y20 + х40) = 0 + 0,25·(2∙0 – 02 + 04) = 0;

 

x1 = x0 + h = 0 + 0,25 = 0,25

 

у1 = у0 + 0,5h [(2x0 y20 + х40) + (2x1 – ( y1*)2 + х41)] =

 

= 0 + 0,5·0,25·[(2∙0 – 02 + 04) + (2∙0,25 – 02 + 0,254) = 0,063;

 

Второй шаг: i = 1, x1 = 0,25, y1 = 0,063

 

y*2 = y1 + h (2x1 y21 + х41) = 0,063 + 0,25·(2∙0,25 – 0,0632 + 0,254) = 0,188;

 

x2 = x1 + h = 0,25 + 0,25 = 0,5

 

у2 = у1 + 0,5h [(2x1 y21 + х41) + (2x2 – ( y2*)2 + х42)] =

 

= 0,063 + 0,5·0,25·[(2∙0,25 – 0,0632 + 0,254) + (2∙0,5 – 0,1882 + 0,54)] = 0,254;

 

Третий шаг: i = 2, x2 = 0,5, y2 = 0,254

 

y*3 = y2 + h (2x2 y22 + х42) = 0,254 + 0,25·(2∙0,5 – 0,2542 + 0,54) = 0,5035:

 

x3 = x2 + h = 0,5 + 0,25 = 0,75

 

у3 = у2 + 0,5h f [(2x2 y22 + х42) + (2x3 – ( y3*)2 + х43)] =

 

= 0,254 + 0,5·0,25·[(2∙0,5 – 0,2542 + 0,54) + (2∙0,75 – 0,50352 + 0,754)] = 0,574.

 

 

7.3.3 Усовершенствованный метод Эйлера

 

Сущность усовершенствованного метода Эйлера состоит в следующем: сначала вычисляются вспомогательные значения искомой функции yi+1/2 в точках xi+1/2 = xi + h/2 помощью формулы

 

,

 

затем находят значение f (x,y) в средней точке и определяют

 

.

 

Оценка погрешности в точке хi может быть получена с помощью «двойного просчета»: расчет повторяют с шагом h/2 и погрешность более точного ( при шаге h/2) оценивают приближенно по формуле

 

 

где у(х) – точное решение ДУ.

 

Пример 7.5.

 

Проинтегрировать усовершенствованным методом Эйлера ДУ y’ = y – x при начальных условиях х0 = 0, у0 = 1,5 на отрезке [0, 1], приняв h = 0,25.

 

Первый шаг: i = 0, x0 = 0, y0 = 1,5.

 

y0+1 = y0 - x0 = 1,5 – 0 = 1,5; 0,1875;

 

x0+1/2 = x0 + ; y0+1/2 = y0 + ;

 

y’0+1/2 = y0+1/2 – x0+1/2 = 1,6875 – 0,125 = 1,5625; 0,3906;

 

1,5 + 0,3906 = 1,8906;

 

Второй шаг: i = 1, x1 = x0 + h = 0 + 0,25 = 0,25; y1 = 1,8906.

 

y2 = y1x1 = 1,8906 – 0,25 = 1,6406; 0,2051;

 

x1+1/2 = x1 + ;

y1+1/2 = y1 + ;

 

y’1+1/2 = y1+1/2 – x1+1/2 = 2,0957 – 0,375 = 1,7207; 0,4302;

 

1,8906 + 0,4302 = 2,3208.

 

За повышение точности приходится расплачиваться дополнительными затратами времени на вычисление функции .

Более высокая точность может быть получена, если улучшить аппроксимацию производной, сохраняя больш



Последнее изменение этой страницы: 2016-07-23

headinsider.info. Все права принадлежат авторам данных материалов.